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二、曲面积分

2.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）

2.1.1 问题引入 —— 曲面的质量

设 $\Sigma$ 为空间有限光滑或逐片光滑曲面，其面密度为 $\rho (x,y,z)$ ，求其质量 $m$ 。

有两种思想可以进行求解，一是经典积分思想，另一是元素法思想。

（1）经典积分思想

第一步：将 $\Sigma$ 划分为 $n$ 个小曲面 $\Delta S_1,\Delta S_2,\cdots ,\Delta S_n$ ；

第二步：任取 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\delta }_i)\in \Delta S_i(1\le i\le n)$ ，则 $m\approx \sum \rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\delta }_i)\Delta S_i$ ；

第三步：令 $\lambda =\max \Delta d_i(i=1,2,\cdots ,n)$ ，其中 $d_i$ 为 $\Delta S_i$ 的直径，则有 $$m=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\delta }_i)\Delta S_i.$$ （2）元素法思想

第一步，取 $dS\subset \Sigma$ ；第二步，$dm=\rho (x,y,z)dS$ ；第三步，$m={\iint }_{\Sigma }\rho (x,y,z)dS.$

2.1.2 对面积的曲面积分定义及性质

由此，我们可以得到对面积的曲面积分的定义：

设 $\Sigma$ 为空间有限曲面，函数 $f(x,y,z)$ 在曲面上有界，将 $\Sigma$ 划分为 $n$ 个小曲面 $\Delta S_1,\Delta S_2,\cdots ,\Delta S_n$ ；任取 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\delta }_i)\in \Delta S_i(1\le i\le n)$ ，作 $\sum \rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\delta }_i)\Delta S_i$ ；令 $\lambda =\max \Delta d_i(i=1,2,\cdots ,n)$ ，其中 $d_i$ 为 $\Delta S_i$ 的直径，若极限 $$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i,{\delta }_i)\Delta S_i.$$ 存在，称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分，记为 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$ 。

对面积的曲面积分，和二重积分有类似的性质，如常数可以提出来；曲面可以分段；被积函数为 1 时，代表曲面面积；还有就是对称性质，关于 $xOy$ 平面对称，即关于变量 $z$ 对称等等。

2.1.3 对面积的曲面积分的计算法

（1）特殊替代法

也就是被积函数可以用曲面方程来替代掉，最终转化为求空间曲面的面积。

回忆一下空间几何里面关于曲面面积的计算方法：两个向量叉乘的一半为所围三角形的面积。

【例】计算 $I={\iint }_{\Sigma }(2x+4y/3+z)dS$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $x/2+y/3+z/4=1$ 在第一卦限的部分。

解： $I=4{\iint }_{\Sigma }1dS=4S$ 。平面 $\Sigma$ 与三轴的交点分别为 $A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4)$ ，则 A B → = { − 2 , 3 , 0 } , B C → = { 0 , − 3 , 4 } \overrightarrow{AB}=\{-2,3,0\},\overrightarrow{BC}=\{0,-3,4\} AB ={−2,3,0},BC ={0,−3,4} ，可计算面积 $S=0.5\times |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}|=\sqrt{61}$ ，可得 $I=4\sqrt{61}$ 。

（2）二重积分法

设 $\Sigma :z=u(x,y)$ ，其中 $(x,y)\in D$ ，则有 $dS=\sqrt{1+(\partial z/\partial x{)}^2+(\partial z/\partial y{)}^2}dxdy$ ，有 $${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_D[f(x,y,u(x,y)]\sqrt{1+(\partial z/\partial x{)}^2+(\partial z/\partial y{)}^2}dxdy.$$ 【例】求 $I={\iint }_{\Sigma }zdS$ ，其中 $\Sigma$ 为 $x^2+y^2+z^2=1$ 被 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所截部分。

联立两个方程，可得 $x^2+y^2=1/2$ ，于是有 $\Sigma :z=\sqrt{1-x^2-y^2},(x,y)\in D$ ，其中 $D:x^2+y^2\le 1/2.$ 则 $dS=dS=\sqrt{1+(\partial z/\partial x{)}^2+(\partial z/\partial y{)}^2}dxdy=1/(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy$ ，于是 $$I={\iint }_D\sqrt{1-x^2-y^2}\cdot (1/\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy=S_D=\pi /2.$$

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写在最后

第一类曲面积分和第一类曲线积分很是相似，都是化成对应的简单面积分或线积分来进行计算，如果掌握了二重积分，加上空间几何的内容，相信这一部分是可以较为轻松掌握的。