关于感知机

感知机（Perceptron）和神经网络（Neural Network）之间有一定的关系，可以说感知机是神经网络的一个基本组成单元。

• 感知机：

  • 感知机是一种简单的二分类线性分类器。
  • 它接受多个输入，对每个输入施加权重，然后将它们相加。这个总和会经过一个激活函数（通常是阶跃函数）得到输出。
  • 如果输出超过某个阈值，它将被分类为一类，否则分类为另一类。
  • 感知机可以用于解决线性可分的问题，但不能解决线性不可分的问题。

感知机有两部分，一是线性函数，二是激活函数：

其中线性函数如果在二维中就是一条直线f=wx+b把两种类别分开，在三维就是一个平面...

单个感知机能处理与或非但不能处理异或：

因为异或可以用与或非表示出来，故要处理异或问题可以用多层感知机： 

• 神经网络：

  • 神经网络是一个更加复杂的模型，由许多层次的神经元组成。
  • 每个神经元接受多个输入，并为每个输入分配一个权重。然后将所有加权输入相加，通过激活函数处理得到输出。
  • 神经网络可以包含多个层（输入层、隐藏层、输出层），其中隐藏层其实就是多层感知机，可以处理更加复杂的非线性关系。

关于损失函数

最小二乘法

假设是真实结果，是预测结果，最直观的想法就是去求它们之间的差值，让差值尽可能的小，即让预测结果尽可能接近真实结果。

但是用这个绝对值可能会不可导，故采用平方的形式衡量这种差距，“最小”即min“二乘”即二次方。

极大似然估计法

知道结果，由结果去反推造成结果的概率模型时的估计方法。

比如10每硬币抛出来7个正面3个反面，如果算出的概率模型有0.1:0.9、0.7:0.3和0.8:0.2，其中0.7:0.3的概率模型下发生这件事的概率为0.7^5*0.3^3，概率是最大的即“似然”，那么就“估计”这种概率模型就是真实抛硬币的概率模型。

如果事件只有两种情况，那么符合伯努利分布。

交叉熵

熵

熵是衡量一个系统不确定性的多少即信息量。

假如有一个概率系统P，那么它的熵就是对这个系统的信息量求期望。

KL散度

KL散度即相对熵，相对指的是两个概率系统。

D(P||Q)和D(Q||P)是不等价的，D(P||Q)表示以P为基准，它们信息量相差多少。

由整理的结果可见，第一项是交叉熵；第二项是P的系统熵，是定值。

引理：KL散度大于等于0，当P=Q时为0。

要让两个概率系统接近，即最小化交叉熵->损失函数。

由于P的熵是定值求梯度(即函数偏导)为0，故其实KL散度作损失函数等价于交叉熵作损失函数。

假设事件只有两种情况，交叉熵可写为：

可以发现，交叉熵和极大似然估计法的式子形式一样(含义不同)。

关于梯度下降

调整参数(比如权重w和偏置b)的策略是反向传播，梯度下降是反向传播的一种方法，除此之外还有牛顿法、冲量法...

正向传播就是信息在一层层的感知机下传递下去。

反向传播就是把偏差传递到各个参数上，根据参数对偏差的“贡献”大小作相应的调整多少。

（蕴含的贪心思想：优先调整那些对最后结果有重大影响的参数）

其中J表示由损失函数算出来的偏差，绿色部分代表该感知机因对最后结果的“贡献”大小所承担的“责任”的多少(浅绿部分是参数，深绿部分是上一层造成的偏差，回传给上一层)。

上面直观的理解图的偏差是用数值加法，实际是用向量的加法进行分配，由于偏差值是没有方向的，所以还需要找到一个确定的方向->梯度的方向就是向量的方向。准确来说是梯度的反方向，因为梯度的方向是数值增加最快的方向，其反方向才是数值减小最快的方向。