学习目的

利用SPSS,将非正态分布数据转换为正态分布。

软件版本

IBM SPSS Statistics 26。

参考文档

《小白爱上SPSS》课程

基础数据

《小白爱上SPSS》课程中的加餐原始数据。

正负偏态的转换方法（引自《小白爱上SPSS》）

正态分布转换方法有很多，比如：对数变换、平方根变换、平方根反正弦变换、平方变换、倒数变换、Box-Cox变换、正态得分法。
这里选择几种常用方法讲解，起示范作用。数据转换分成两种情况，一种是正偏态数据，另一种是负偏态数据，每种又分成轻度、中度和严重三种情况。

正偏态数据转换方法

• 1、轻度正偏态分布
  当偏度值>0，偏度值为其标准误差的2-3倍，即Z-score=2~3，此时认为资料分布呈现轻度的正偏态分布，故考虑对变量x取根号开平方的方法来进行转换。
  SPSS语句如下：
  COMPUTE x_new = SQRT(x)
  （SQRT为开平方根Square Root缩写）
• 2、中度正偏态分布
  当偏度值>0，偏度值为其标准误差的3倍以上时，即Z-score>3，此时认为资料分布呈现中度的正偏态分布，可以考虑对变量x取对数来进行转换。可以取自然对数（ln）或以10为底的对数（log10）。
  SPSS语句如下：
  COMPUTE x_new = LN(x)
  COMPUTE x_new = LG10(x)
  注意：LG10的纠正力度较强，有时甚至会矫枉过正，将正偏态转换为负偏态，因此在进行正态转换后一定要对该变量再次进行正态性检验。
• 3、重度正偏态分布
  对于两端波动比较大的数据资料，极端值可能产生较大的影响，此时可以考虑取倒数的方法来进行转换。
  SPSS语句如下：
  COMPUTE x_new = 1/x
  若你不太熟悉SPSS语法编辑窗口，则可通过SPSS中“转换”—“计算变量”实现，找到sqrt, ln, lg10等函数。
  注意：根号下要求数据均为非负数（即≥0），对数要求数据均为正数（即>0）；取倒数要求分母不为0, 如果变量x中出现上述情况，则需要先将其进行一定的转换，如x+K或K-x，再对其取根号、对数或倒数。其中K为一个常数，可以根据需要进行赋值，例如赋值为1，或取数据的最小值、最大值等。

负偏态数据转换

对于负偏态分布的数据资料，首先需要将负偏态资料进行反转，转换为正偏态，然后再参考正偏态分布资料的转换方法进行转换。
反转的方法：首先找出该数据系列的最大值max，用最大值+1，再减去每个数值。

• 1、轻度负偏态分布
  SPSS语句如下：
  COMPUTE x_new = SQRT(max+1-x)
• 2、中度负偏态分布
  SPSS语句如下：
  COMPUTE x_new = LN(max+1-x)
  COMPUTE x_new = LG10(max+1-x)
• 3、重度负偏态分布
  SPSS语句如下：
  COMPUTE x_new = 1/(max+1-x)

实战

42名员工的月收入，试检验其正态性。若不服从正态性，请将其转化为正态分布。

数据准备

输入SPSS中，可选择excel文件导入，导入后数据如下：

数据初探

完成数据输入后，在主界面依次点击：分析-描述统计-探索：


将“原始收入数据”选入因变量列表，点击 图 --勾选直方图–勾选含检验的正态图–继续–确定。

输出结果分析

查看峰度、偏度

查看峰度标准误差、偏度标准误差

这里要通过频率选项：

频率中，将原始收入数据加入“变量”，选择“统计”，显示频率表选项可按需勾选：

统计中的选项：

选中后验分布中的偏度，峰度，按继续-确定，输出频率统计表：

计算偏度系数和峰度系数

偏度系数：

峰度系数：

由计算结果，偏度系数和峰度系数的绝对值均大于1.96，可以认为该组样本数据不服从符合正态分布。

Tips：为什么判断限值是1.96？

概念引自百度百科：标准正态分布。
标准正态分布（英语：standard normal distribution， 德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。
标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。

查标准正态分布表，当α=0.05时，进行区间估计，两侧分别是0.05/2=0.025，查标准正态分布表时找到0.975，对应的Z值就是1.96。所以偏度系数和峰度系数的绝对值的判断限值是1.96。

样本量过大的情形

注意：当样本量过大（超过100）时，采用峰度和偏度系数会对正态性的情况有所偏误，此时，可以直接尝试采用图示法（直方图、P-P、Q-Q）的方法进行检验会更直观。

正态性检验结果

结果解读

当数据量≤50时，倾向于以夏皮洛-威尔克（S-W）检验结果为准；
当数据量>50时，倾向以柯尔莫戈洛夫-斯米诺夫（K-S）检验结果为准；
当数据量>5000时，SPSS只会显示K-S检验结果。
本例中，我们检验42名员工收入的正态分布情况，由上表显示，样本量（可参考自由度那一列数值）小于50，故以夏皮洛-威尔克（S-W）检验结果为准。检验的p值（即显著性那一列）为0.000，小于0.05，说明42名员工收入不符合正态分布，故认为收入不满足正态性。

正负偏态的转换

选择检验方法和操作步骤

由上可知，因本案例中偏度值(-1.266)<0，为负偏态，偏度值为其标准误差的3倍以上(偏度系数Z=3.468>3)，故考虑对变量x取对数来进行转换。
对于负偏态分布的数据资料，首先需要将负偏态资料进行反转，转换为正偏态，然后再参考正偏态分布资料的转换方法进行转换。

Step1：反转

方法为：首先找出该数据系列的最大值max，用最大值+1，再减去每个数值，本例子中最大值为15510，处理后数据名称为“反转后数据”，数据处理如下：
在描述表格中找到最大值：

添加计算变量，生成新的列：

新列命名为“反转的列”：

生成结果如下：

Step2: 反转后处理（以对数转换为例）

根据前述说明，数据按中度正偏态（对数转换）处理。
对反转后数据进行对数转换，以Log10为例，步骤如下：
(1) 选择转换→ 计算变量；
(2) 在目标变量（T）框中输入一个新的变量名，作为数据转换后的变量名，此处设定为新收入数据；

(3) 在函数组中选择算数，在函数和特殊变量中双击Lg10，此时在数字表达式框中显示LG10（？）；
(4) 从变量列表中双击反转后数据，此时在数字表达式框中显示LG10（反转数据）。
(5) 点击确定完成操作，操作完成，出现新收入数据列。

重新执行数据探索。

反转后数据再探索

输出描述：

正态性检验：

在结果输出的描述表格中显示，计算偏度系数（.329/.365=9.014）和峰度系数（12.126/.717=16.912）均大于1.96，正态性检验p（0.000）<0.001,故说明转换后数据仍不服从正态分布（读者可以采用【倒数】转换方法尝试下，结果仍然不服从正态分布）。
至此，原作者建议不再进行正态分布数据转换尝试，而采用非参数检验方法。
因为，一般而言，收入这个变量的总体数据是不服从正态分布的。

正态得分方法

当然，我们也可采用正态得分方法操作，使其转换为正态分布。
选择转换→个案排秩检验：

将收入选入变量(V)框中点击类型排秩选项框，取消默认勾选的秩，勾选正态得分选项。在比例估算公式下有4种方法可供选择，默认Blom方法，其他方法也可以进行尝试，点击继续再点击确定完成操作。

我们可以看到在程序运行后在变量列表中多出了一个名为N原始的新变量，即为计算的正态得分。

下图为采用探索方法对N原始收入数据正态性检验以验证转化效果。
在结果输出的描述表格中显示，偏度系数和峰度系数均小于1.96，正态性检验p=1.000>0.05,故说明转换后数据服从正态分布。

图示也能看到比较明显的正态分布特征：

正态得分法的缺点

需要注意：基于正态得分法得到的数据，在编秩过程中额外地加入原本不属于数据本身的分布特征，因此在一般统计方法中，并不能直接当做正态数据使用，其标准差、方差等信息与原始数据的计算结果也并不一样。这种转换，仅能用作在构建复杂模型时的探索。

重点回顾

（1）正态分布转换方法有很多，包括：对数变换、平方根变换、平方根反正弦变换、平方变换、倒数变换、Box-Cox变换（SPSS软件实现不了）和正态得分法等。
（2）不是任何非正态数据都可以进行正态转换，只有把握认为数据的总体分布是正态的时候才可做正态转换。
（3）如果一种正态分布转换方法没成功，则需要多次其他转换方法，甚至要创造性提出转换方法，从中选择效果较好者。
（4）如果通过多次变量转换的方法依然无法转换成功，就不再适用于T检验、方差分析等方法了，这时可采用前期介绍过的非参数检验的方法来进行分析，例如Wilcoxon检验和Mann-Whitney U检验方法等。
（5）在对线性回归模型进行解释时，如果使用函数转换的方法对变量进行转换，则应对转换后的变量给予解释，或者可以根据转换时使用的函数关系，倒推原始自变量对原始因变量的效应大小。