一起学数据结构（10）—

从本文开始，通过若干篇文章展开对于数据结构中——排序的介绍。

1. 排序的概念：

将一堆杂乱无章的数据，通过一定的规律顺序排列起来。即将一个无序序列排列成一个有序序（由小到大或者由大到小）的运算。

在数据的排序中需要注意，如果需要排序的对象同时有多个数据域（例如对学生进行排序，往往有学号，班级等多个数据域），排序往往是针对于其中一个数据域进行的。

2. 排序的种类：

对于排序，本文及下面的文章中将着重介绍下列给出的排序：插入排序、希尔排序、选择排序、冒泡排序、快速排序、归并排序、计数排序。

3. 插入排序：

3.1 思路分析：

对于插入排序，其基本思想可以概括为：每一步都将待排序的对象，按照该对象与已有数据的大小关系，插入到前面已经排好序的一组数据的合适的位置中。因此，插入排序可以看作一个一边进行插入，一边保持已有序列有序的排序。

为了便于理解插入排序的基本思想，下面给出一个例子：

对于上面给出的例子，按照上面插入排序的基本思想来进行排序，则需要首先比较待插入元素 $5$ 与数组中已有元素进行比较。直到插入到一个合适的位置。所以对上述的案例进行排序后，最终结果为;

对于上面给出的插入排序的过程需要理解，并不是真的对数组不断插入新的元素进行排序。而是将数组中的一部分看作插入的部分，例如对于下面的数组：

将已经有序的序列，即数组中的 $1,2,4,7$ 称为有序序列。将后面的数组成的序列称之为无序序列。如果这个序列进行插入排序，只是将元素 $6$ 看作待插入元素。通过不断比对待插入元素与数组中元素的大小关系，来调整元素 $6$ 至合适的位置。

为了方便后续编写插入排序的代码，将有序序列的最后一位的下标记为 $end$ ，将待插入元素的下标记为 $end+1$ 。所以， $end$ 一开始所对应的下标就是数组第一个元素的下标，即 $0$ ，待插入元素的下标就是 $end+1=1$ ，即数组中的第二个元素。对比调整后，数组中前两个元素会变为有序序列。接着按照上面的步骤循环，即令 $end = 1$ ，即有序序列的第二个元素，或者说数组中的第一个元素。待插入元素的下标等于 $end+1=2$ ，即数组中的第二个元素。。。。。。。

3.2 代码演示：

通过上面给出的思路，可以总结出下面代码：

void InsertSort(int* a, int n)
{int end = 0;for (end = 0; end < n - 1; end++){int tmp = a[end + 1];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + 1] = a[end];}else{break;}end--;}a[end + 1] = tmp;}}

对于插入排序，因为没有开辟额外的空间，所以插入排序的空间复杂度为 $O(1)$ ,当数组完全逆序时，插入排序需要执行的次数可以看作一个等差数列，所以插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$

3.3 插入排序测试：

测试函数如下：

void TestInsertsort()
{int a[] = { 2,1,3,4,6,9,5,8 };int size = sizeof(a) / sizeof(int);InsertSort(a, size);ArrayPrint(a, size);
}

其中函数 $ArrayPrint$ 是用于打印数组的函数，原理过于简单，不予解释，运行效果如下：

4. 希尔排序：

4.1 思路分析及代码演示：

对于上面给出的插入排序中提到，如果插入排序需要排序的数组是逆序的，则插入排序的时间复杂度为 $O(n)$ ，如果需要排序的数组为顺序的，则时间复杂度为 $O(n)$ ，为了优化插入排序在排序逆序数组时较大的时间复杂度，可以尝试在对数组进行插入排序之间，先对数组进行依次预排序，让数组中某些元素是顺序的。对于先进行预处理，再进行一次插入排序的排序，就是文章本部分要介绍的希尔排序。例如下面的数组：

对于预排序，其步骤如下：首先确定一个间隔数，这里将这个间隔数命名为 $gab$ ，通过利用 $gab$ 将数组分为若干个区间。并且对相邻区间的首元素进行一次类插入排序的操作。具体步骤将通过下面的图形进行演示：

1. 假设 $gab = 3$ ，则利用 $gab$ 分组后的数组可以表示为：

继续利用上面方法对数组中未分组的元素进行分组，可以表示为下面的图片，图中不同颜色的图形用于区分不同的组：

2. 接着，对于一组中的元素进行一次类插入排序的操作，即比较同一组的不同区间的首元素的大小关系，将小的元素放到前面。例如，对于红线组中的元素进行上述操作：

对于本部分的操作，可以利用插入排序的思想来实现，依旧定义 $end$ 表示本组第一个元素的下标，例如红线组的 $9$ ， $end+gab$ 则表示本组下一个区间的首元素的坐标，再创建一个变量 $tmp$ 用于存储 $end+gab$ 所对应的元素。例如红线组的 $5$ 。由于 $end$ 所对应的元素＞ $end+gab$ 所对应的元素。所以让 $end$ 代表的元素覆盖到 $end+gab$ 的位置。再让 $tmp$ 覆盖到 $end$ 位置。该过程可用代码表示为：

void ShellSort(int* a, int n)
{int end = 0;int gab = 3;int tmp = a[end + gab];if (a[end] > tmp){a[end + gab] = a[end];}a[end] = tmp;
}

但是，上面的过程并不完整，并且只能交换一次，加入遇到下面的情景：

假设 $end$ 所对应的元素为 $9$ ， $end+gab$ 所对应的元素为 $4$ ，按照上面的代码交换一次后：

可以看到， $5,4$ 这两个元素的大小关系还是不满足。因此，并不能向上面仅仅对 $end$ ， $end+gab$ 的元素的大小关系进行判断，还需要对交换后前面的元素的关系重新进行一次判断，如果不满足则再次交换。方法为：再进行一次交换后，令 $end-gab$ ，此时 $end-gab$ 对应的元素为 $5$ ， $(end-gab)+gab$ 对应的元素为 $4$ ，对二者再次进行一次交换。

为了满足多次交换的目的需要利用到循环。所以对于循环的结束条件有两条：1是 $end < 0$ ，2是元素的大小关系不符合。

即使在加上上面的补充后，代码也只能用于单个组中一组 $end$ ， $end+gab$ 元素的交换，为了完成整租的交换，需要让 $end$ 所对应的下标不断向后 $gab$ 个位置。所以可以将上述代码优化为：

//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n)
{int gab = 3;for (int end = 0; end < n - gab; end += gab){int tmp = a[end + gab];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + gab] = a[end];end -= gab;}else{break;}}a[end + gab] = tmp;}
}

完善后的代码，可以一次性完成一组的预排序。但是在预排序的过程中需要对多组数据进行排序。通过对下面图形的观察可以得知，当 $end$ 初始值就为 $2$ 时，此时进行预排序的就是紫色线条对应的组，也就是需要预排序的最后一组。所以，可以在将上面的代码进行一次优化，让其能够处理多组预排序

并且，对于 $gab$ 的值也是变化的， $gab$ 的值越大，数组中大的元素向后移动的距离越长， $gab$ 越小，移动的距离也越小，当 $gab=1$ ，数组为有序。

代码如下：

//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n)
{int gab = n;while (gab > 1){gab = gab / 2;for (int i = 0; i < gab; i++){for (int end = i; end < n - gab; end += gab){int tmp = a[end + gab];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + gab] = a[end];end -= gab;}else{break;}}a[end + gab] = tmp;}}}
}

对于预排序部分的代码，还有另一种更简洁的部分，这里先给出相应代码，再进行逻辑分析：

//希尔排序
void ShellSort1(int* a, int n)
{int gab = n;while (gab > 1){gab = gab / 2;for (int i = 0; i < n - gab; i++){int end = i;int tmp = a[end + gab];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + gab] = a[end];end -= gab;}else{break;}}a[end + gab] = tmp;}}
}

观察上面给出的代码，可以发现，相对于上面给出的预排序，这种预排序省略了一个 $for$ 循环。逻辑也不同。对于现在给出的预排序，并不是按照严格分组，先进行完一组，再进行一组。而是在确定了 $gab$ 之后，直接按照数组下标的顺序进行预排序，例如：

对于前面一种的预排序，是先对 $5,4$ 进行预排序，再对 $5,9$ 进行预排序，再对 $9,5$ 进行预排序，此时，红线所对应的组完成了预排序，于是再对绿线所对应的组的元素开始预排序，顺序为： $1,7$ , $7,6$ 。

但是对于现在给出的预排序，预排序的顺序为： $5,4$ , $1,7$ , $2,4$ , $4,9$ ,。。。。。。

由于希尔排序的时间复杂度的计算极其复杂，这里直接给出结论，希尔排序的时间复杂度大致在 $O(n^{1.3})$ 左右。空间复杂度为 $O(1)$ 。

4.2 希尔排序测试：

测试函数如下：

void TestShellSort()
{int b[] = { 9,1,2,5,7,4,8,6,3,5 };int size = sizeof(b) / sizeof(int);ShellSort(b, size);printf("希尔排序：");ArrayPrint(b, size);
}

结果如下：

5. 冒泡排序：

5.1 代码演示：

对于冒泡排序的相关原理，可以在文章C语言——冒泡排序和qsort排序-CSDN博客浏览，文章在本部分只给出冒泡排序的相关代码以及测试结果，对实现原理不做论述。

 void BubbleSort(int* a, int n)
{for (int j = 0; j < n; j++){int exchange = 0;for (int i = 1; i < n; i++){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0){break;}}
}

5.2 冒泡排序测试：

测试函数如下：

//冒泡排序void BubbleSort(int* a, int n)
{for (int j = 0; j < n; j++){int exchange = 0;for (int i = 1; i < n; i++){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0){break;}}
}

void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}

结果如下：

6. 堆排序：

对于堆排序的相关原理及代码实现，在之前的文章如何利用堆来模拟堆排序-CSDN博客已经做了详细的解释，这里不再进行多余论述。

7. 选择排序：

7.1 思路分析以及代码演示：

对于选择排序的原理，总结下来只有一句话，即每次排序时，选出数组中最小的值以及最大的值，将最小的值换到数组的最左边，最大的值换到数组的最右边。

为了达成上述目的，可以创建 $min,max$ 两个变量，通过遍历数组将二者选择出来，再通过交换函数，让两个值在数组中的位置分别达到最左边，最右边。

代码如下：

 void SelectSort(int* a, int n){int begin = 0, end = n - 1;while (begin < end){int mini = begin, maxi = begin;for (int i = begin + 1; i <= end; i++){if (a[i] > a[maxi]){maxi = i;}if (a[i] < a[mini]){mini = i;}}Swap(&a[begin], &a[mini]);if (maxi == begin){maxi = mini;}Swap(&a[end], &a[maxi]);begin++;end--;}}

7.2 选择排序测试：

测试函数如下：

TestSelectSort()
{int d[] = { 7,8,1,4,5,9,2,3,6};int size = sizeof(d) / sizeof(int);SelectSort(d, size);printf("选择排序：");ArrayPrint(d, size);
}

结果如下：

对于选择排序，显而易见，时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ 。