【状态空间方程】对于状态空间方程矩阵D≠0时的状态反馈与滑模控制

又到新的一年啦，2025新年快乐~。前几个月都没更新，主要还是因为不能把项目上的私密工作写进去，所以暂时没啥可写的。最近在山里实习，突然想起年前遗留了个问题一直没解决，没想到这两天在deepseek的加持下很快解决了，只能说AI还是猛，能提供很好的建议。

0. 问题描述

作为一个控制人，最常见的模型表达式莫过于状态空间方程和二阶的非线性方程了：
对于绝大多数情况下，上述状态空间方程中的前馈矩阵D一般为0，即输入一般不直接影响输出，但是最近遇到个问题，其辨识出来的模型中矩阵D不为0，然后让你去控制它，这种情况我还真第一次遇到，当我尝试使用最简单的滑模控制来设计控制器时却遇到了问题，并且翻阅各大检索网站都没有这方面的解决办法。
问题总结：对于前馈矩阵D≠0的情况，如何设计状态反馈或滑模控制器？

1. 状态反馈控制

状态反馈控制通过反馈状态变量来设计控制器，即使 D≠0，状态反馈控制律仍可以设计为 $u = - K x$ 的形式。matlab提供了place函数，可直接针对矩阵A、B设计反馈增益矩阵K。
若状态变量不可测时，可使用输出反馈控制，输出反馈控制律为 $u = - Ky$ ，其中 $y = C x + D u$ 。
注：place函数适用于多输入多输出系统，而acker函数仅用于单输入系统。

仿真验证

以倒立摆系统为例，验证状态反馈控制，可以看出，即使对于D≠0的情况，状态反馈控制仍然具有良好的控制效果。

2. 滑模控制

为了考虑D≠0的影响，最开始是想设计滑模面 $s = S x + Ky$ 的形式，并采用等效控制和切换控制的方式 $u=u_{eq}+u_{sw}$ 设计控制律，不过后续发现无论如何调整设计矩阵S和K的参数，均不能完成控制。期间学到了在对y求导时，控制输入u的导数du可以适当忽略，原因如下：

控制输入的动态特性：在实际系统中，执行器的动态特性通常比系统的动态特性快得多，即执行器的响应时间远小于系统的时间常数。因此， $\dot{u}$ 的影响可以忽略不计。
滑模控制的鲁棒性：滑模控制的核心思想是通过高频切换控制律（如符号函数 sign(s(x))）来驱动系统状态到达滑模面并保持在滑模面上。这种高频切换本身就具有很强的鲁棒性，能够克服系统中的不确定性和扰动。即使 $\dot{u}$ 存在，其影响也会被滑模控制的鲁棒性所抑制。
简化设计过程：忽略 $\dot{u}$ 可以大大简化控制律的设计过程。如果考虑 $\dot{u}$ ，控制律的设计会变得非常复杂，尤其是在多输入多输出（MIMO）系统中。通过忽略 $\dot{u}$ ，可以将问题简化为一个静态反馈控制问题，从而更容易设计控制器。
实际系统的验证：在实际系统中，忽略 $\dot{u}$ 的假设通常可以通过仿真和实验验证。如果仿真和实验结果表明系统的性能满足要求，那么这一假设就是合理的。

特殊情况下的处理：如果 $\dot{u}$ 的影响确实不可忽略（例如，执行器的动态特性较慢），可以通过以下方法处理：① 引入动态扩张：将 u 视为一个新的状态变量，设计扩张状态空间方程。② 高阶滑模控制：设计高阶滑模控制器，直接考虑 $\dot{u}$ 的影响。

由于联合设计矩阵S和K没有成功，因此这里将滑模面仅设计为与状态变量有关的形式 $s = S x$ ，并采用极点配置的方式求解设计矩阵S。首先令 $\dot{s}=0$ 求出 $u_{eq}$ ，取 $u_{sw} = -\eta *sign(s(x))$ ，可得控制律 $u=u_{eq}+u_{sw}$ ，回代入 $x = A x + B u$ 可得闭环系统的 $A_{c}$ ，此时采用极点配置将闭环极点配置在左半平面，可得到设计矩阵S的参数。det(S*I-Ac) = (s-lambda1) * (s-lambda2) * ...
如果不采用极点配置的方式，则需要根据系统稳定性条件确定矩阵S的参数。

仿真验证

同样的，以倒立摆系统为例，验证滑模控制，可以看出，即使对于D≠0的情况，滑模控制依然具有较好的控制效果。

3. C≠单位阵时的线性变换

上述解决了矩阵D≠0的情况，此外当D=0时还存在一种情况，即C不等于单位矩阵，此时需要采用线性变换进行处理，即 $\begin{cases} A^{\prime}=T^{-1}AT\\ B^{\prime}=T^{-1}B\\ C^{\prime}=CT\\ \end{cases}$ 其中， $C^{\prime}$ 为变换后的单位阵，并可解出满足条件的任一变换矩阵 $T$ ，随后得到变换后的 $A 、 B$ 矩阵。