4.2.1 矩阵的数组表示

【数据结构】数组和字符串（一）：矩阵的数组表示

4.2.2 特殊矩阵的压缩存储

  矩阵是以按行优先次序将所有矩阵元素存放在一个一维数组中。但是对于特殊矩阵，如对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵和稀疏矩阵等, 如果用这种方式存储，会出现大量存储空间存放重复信息或零元素的情况，这样会造成很大的空间浪费。为节约存储空间和算法（程序）运行时间，通常会采用压缩存储的方法。

• 对角矩阵：指除了主对角线以外的元素都为零的矩阵，即对 任意 i ≠ j (1≤ i , j ≤n)，都有M(i, j)=0。由于只有主对角线上有非零元素，只需存储主对角线上的元素即可。
• 三角矩阵：指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地，只需存储其中一部分非零元素，可以节省存储空间。
• 对称矩阵：指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵。由于对称矩阵的非零元素有一定的规律，可以只存储其中一部分元素，从而减少存储空间。
• 稀疏矩阵：指大部分元素为零的矩阵。传统的按行优先次序存储方法会浪费大量空间来存储零元素，因此采用压缩存储的方法更为合适。常见的压缩存储方法有：压缩稠密行（CSR）、压缩稠密列（CSC）、坐标列表（COO）等。

a. 对角矩阵的压缩存储

【数据结构】数组和字符串（二）：特殊矩阵的压缩存储：对角矩阵——一维数组

b~c. 三角、对称矩阵的压缩存储

【数据结构】数组和字符串（三）：特殊矩阵的压缩存储：三角矩阵、对称矩阵——一维数组

d. 稀疏矩阵的压缩存储——三元组表

【数据结构】数组和字符串（四）：特殊矩阵的压缩存储：稀疏矩阵——三元组表

e. 压缩稀疏行（Compressed Sparse Row，CSR）矩阵

  压缩稀疏行（Compressed Sparse Row，CSR）是一种常用的稀疏矩阵存储格式。CSR存储格式通过压缩非零元素的行指针和列索引，以及存储非零元素的值，来有效地表示稀疏矩阵。它包含以下几个关键组成部分：

• row_ptr（行指针数组）：它是一个长度为rows + 1的数组，用于存储每一行在col_indices和elements数组中的起始索引位置。row_ptr[i]表示第i行的元素在col_indices和elements数组中的起始位置，而row_ptr[i+1] - row_ptr[i]表示第i行的非零元素个数。
• col_indices（列索引数组）：它是一个长度为num_elements的数组，用于存储每个非零元素对应的列索引。col_indices[i]表示第i个非零元素所在的列索引。
• elements（元素数组）：它是一个长度为num_elements的数组，用于存储每个非零元素的值。elements[i]表示第i个非零元素的值。

  CSR存储格式的主要优点是有效地压缩了稀疏矩阵的存储空间，只存储非零元素及其对应的行和列信息。此外，CSR格式还支持高效的稀疏矩阵向量乘法和稀疏矩阵乘法等操作。

结构体

typedef struct {int row;int col;int value;
} Element;typedef struct {int rows;int cols;int num_elements;Element* elements;int* row_ptr;int* col_indices;
} CSRMatrix;

• Element 结构体表示矩阵中的一个元素，包含三个成员变量：row（行索引）、col（列索引）和 value（元素值）。

• CSRMatrix 结构体表示一个CSR矩阵，包含了矩阵的行数 rows、列数 cols、非零元素的个数 num_elements，以及三个指针成员变量 elements、row_ptr 和 col_indices。

创建CSR矩阵

CSRMatrix createCSRMatrix(int rows, int cols, int num_elements) {CSRMatrix matrix;matrix.rows = rows;matrix.cols = cols;matrix.num_elements = num_elements;matrix.elements = (Element*)malloc(num_elements * sizeof(Element));matrix.row_ptr = (int*)malloc((rows + 1) * sizeof(int));matrix.col_indices = (int*)malloc(num_elements * sizeof(int));return matrix;
}

• createCSRMatrix 函数用于创建一个CSR矩阵。
• 接受矩阵的行数、列数和非零元素的个数作为参数，并返回创建的CSR矩阵。
• 在函数内部，通过动态内存分配分别为 elements、row_ptr 和 col_indices 分配内存空间，并将 row_ptr 数组的所有元素初始化为0，最后返回创建的矩阵。

元素设置

void setElement(CSRMatrix* matrix, int row, int col, int value) {if (row < 0 || row >= matrix->rows) {printf("Invalid row index.\n");return;}int index = matrix->row_ptr[row];matrix->elements[index].row = row;matrix->elements[index].col = col;matrix->elements[index].value = value;matrix->col_indices[index] = col;matrix->row_ptr[row]++;  // 递增索引值
}

  setElement 函数可用于设置（修改）CSR矩阵中某个位置的元素值。

• 接受一个指向CSR矩阵的指针 matrix，以及要设置的元素的行索引、列索引和值作为参数。
• 在函数内部，首先检查行索引是否有效，如果无效则打印错误信息并返回。
• 然后，根据行索引找到对应行的起始位置，将元素的行索引、列索引和值分别赋给对应的矩阵元素，并更新 col_indices 数组和 row_ptr 数组中的值。

初始化

void initializeCSRMatrix(CSRMatrix* matrix, int* values, int* row_indices, int* col_indices, int num_elements) {for (int i = 0; i < num_elements; i++) {matrix->elements[i].value = values[i];matrix->elements[i].row = row_indices[i];matrix->elements[i].col = col_indices[i];matrix->col_indices[i] = col_indices[i];matrix->row_ptr[row_indices[i]]++;}int sum = 0;for (int i = 0; i <= matrix->rows; i++) {int temp = matrix->row_ptr[i];matrix->row_ptr[i] = sum;sum += temp;}
}

  initializeCSRMatrix 函数用于初始化CSR矩阵的数据。

• 接受一个指向CSR矩阵的指针 matrix，以及包含非零元素的值、行索引和列索引的数组，以及非零元素的个数作为参数。
• 通过遍历非零元素数组，将值、行索引和列索引分别赋给对应的矩阵元素，并更新 col_indices 数组和 row_ptr 数组中的值。row_ptr 数组的每个元素表示对应行的非零元素在 elements 数组中的起始位置，通过累加非零元素的个数来计算每行的结束位置。

打印矩阵

void printCSRMatrix(CSRMatrix matrix) {printf("CSR Matrix:\n");printf("Rows: %d, Cols: %d, Num Elements: %d\n", matrix.rows, matrix.cols, matrix.num_elements);printf("Values: ");for (int i = 0; i < matrix.num_elements; i++) {printf("%d ", matrix.elements[i].value);}printf("\n");printf("Row Pointer: ");for (int i = 0; i <= matrix.rows; i++) {printf("%d ", matrix.row_ptr[i]);}printf("\n");printf("Column Indices: ");for (int i = 0; i < matrix.num_elements; i++) {printf("%d ", matrix.col_indices[i]);}printf("\n");
}
void printMatrixForm(CSRMatrix matrix) {printf("Matrix Form:\n");for (int i = 0; i < matrix.rows; i++) {for (int j = 0; j < matrix.cols; j++) {int value = 0;for (int k = matrix.row_ptr[i]; k < matrix.row_ptr[i + 1]; k++) {if (matrix.elements[k].col == j) {value = matrix.elements[k].value;break;}}printf("%d ", value);}printf("\n");}
}

• printCSRMatrix 函数用于打印CSR矩阵的信息：它接受一个CSR矩阵作为参数，并打印矩阵的行数、列数、非零元素的个数以及 elements、row_ptr 和 col_indices 数组的内容。
• printMatrixForm 函数用于以矩阵形式打印CSR矩阵。它接受一个CSR矩阵作为参数，并按矩阵的行数和列数遍历矩阵元素，通过遍历 row_ptr 数组和 col_indices 数组来获取每个位置的元素值，并打印出矩阵的形式。

销毁CSR矩阵

void destroyCSRMatrix(CSRMatrix* matrix) {free(matrix->elements);free(matrix->row_ptr);free(matrix->col_indices);matrix->elements = NULL;matrix->row_ptr = NULL;matrix->col_indices = NULL;
}

主函数

int main() {int rows = 9;int cols = 3;int num_elements = 5;CSRMatrix matrix = createCSRMatrix(rows, cols, num_elements);int col_indices[] = {0, 0, 0, 0, 1};int row_indices[] = {3, 5, 7, 8, 7};int values[] =      {2, 1, 3, 1, 4};initializeCSRMatrix(&matrix, values, row_indices, col_indices, num_elements);printCSRMatrix(matrix);printMatrixForm(matrix);destroyCSRMatrix(&matrix);return 0;
}

代码整合

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>typedef struct {int row;int col;int value;
} Element;typedef struct {int rows;int cols;int num_elements;Element* elements;int* row_ptr;int* col_indices;
} CSRMatrix;CSRMatrix createCSRMatrix(int rows, int cols, int num_elements) {CSRMatrix matrix;matrix.rows = rows;matrix.cols = cols;matrix.num_elements = num_elements;matrix.elements = (Element*)malloc(num_elements * sizeof(Element));matrix.row_ptr = (int*)malloc((rows + 1) * sizeof(int));matrix.col_indices = (int*)malloc(num_elements * sizeof(int));memset(matrix.row_ptr, 0, (rows + 1) * sizeof(int));return matrix;
}
void initializeCSRMatrix(CSRMatrix* matrix, int* values, int* row_indices, int* col_indices, int num_elements) {for (int i = 0; i < num_elements; i++) {matrix->elements[i].value = values[i];matrix->elements[i].row = row_indices[i];matrix->elements[i].col = col_indices[i];matrix->col_indices[i] = col_indices[i];matrix->row_ptr[row_indices[i]]++;}int sum = 0;for (int i = 0; i <= matrix->rows; i++) {int temp = matrix->row_ptr[i];matrix->row_ptr[i] = sum;sum += temp;}
}void setElement(CSRMatrix* matrix, int row, int col, int value) {if (row < 0 || row >= matrix->rows) {printf("Invalid row index.\n");return;}int index = matrix->row_ptr[row];matrix->elements[index].row = row;matrix->elements[index].col = col;matrix->elements[index].value = value;matrix->col_indices[index] = col;matrix->row_ptr[row]++;  // 递增索引值
}void printCSRMatrix(CSRMatrix matrix) {printf("CSR Matrix:\n");printf("Rows: %d, Cols: %d, Num Elements: %d\n", matrix.rows, matrix.cols, matrix.num_elements);printf("Values: ");for (int i = 0; i < matrix.num_elements; i++) {printf("%d ", matrix.elements[i].value);}printf("\n");printf("Row Pointer: ");for (int i = 0; i <= matrix.rows; i++) {printf("%d ", matrix.row_ptr[i]);}printf("\n");printf("Column Indices: ");for (int i = 0; i < matrix.num_elements; i++) {printf("%d ", matrix.col_indices[i]);}printf("\n");
}
void printMatrixForm(CSRMatrix matrix) {printf("Matrix Form:\n");for (int i = 0; i < matrix.rows; i++) {for (int j = 0; j < matrix.cols; j++) {int value = 0;for (int k = matrix.row_ptr[i]; k < matrix.row_ptr[i + 1]; k++) {if (matrix.elements[k].col == j) {value = matrix.elements[k].value;break;}}printf("%d ", value);}printf("\n");}
}void destroyCSRMatrix(CSRMatrix* matrix) {free(matrix->elements);free(matrix->row_ptr);free(matrix->col_indices);matrix->elements = NULL;matrix->row_ptr = NULL;matrix->col_indices = NULL;
}int main() {int rows = 9;int cols = 3;int num_elements = 5;CSRMatrix matrix = createCSRMatrix(rows, cols, num_elements);int col_indices[] = {0, 0, 0, 0, 1};int row_indices[] = {3, 5, 7, 8, 7};int values[] =      {2, 1, 3, 1, 4};initializeCSRMatrix(&matrix, values, row_indices, col_indices, num_elements);printCSRMatrix(matrix);printMatrixForm(matrix);destroyCSRMatrix(&matrix);return 0;
}