一、P 类

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$\mathrm{P}$ 类 : ★

所有 能够被 确定性 单个带子图灵机 , 在 多项式时间 内 , 能够被 判定的计算问题 ( 语言类 ) ,

将这些问题放在一起 ( 广义并集 $\bigcup$ ) , 组成一个整体 , 就称为 $\mathrm{P}$

符号化表示 : $\mathrm{P}={\bigcup }_{\mathrm{k}}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{E}({\mathrm{n}}^{\mathrm{k}})$

$\mathrm{P}$ 类 , 就是定义 有效算法 所组成的类 ,

有效算法 , 就是在 多项式时间 内 , 可以执行完毕 , 得到一个确定的结果的算法 ;

确定的结果就是 接受状态 , 或 拒绝状态 ;

$\mathrm{P}$ 类有效算法示例 : ★

① PATH

② 贪心算法

③ 动态规划算法

④ REGULAR

⑤ CFL

参考博客 : 【计算理论】计算复杂性 ( P 类 | 有效算法函数 | NP 直觉 | NP 简介 | NP 类严格数学定义 )

二、NP 类

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验证机 : $\mathrm{A}$ 语言 ( 计算问题 ) 的 验证机 $\mathrm{V}$ ; ★

$<\mathrm{w},\mathrm{c}>$ 含义 : 给定一个 输入 $\mathrm{w}$ , $\mathrm{w}$ 是输入字符串 , $\mathrm{c}$ 是输入 $\mathrm{w}$ 被接受的情况下的输入 , 即正确的输入 ;

$\mathrm{A}$ 语言 ( 计算问题 ) 的 验证机 $\mathrm{V}$ 条件 : 给定了正确的输入 $\mathrm{c}$ , 让验证机 $\mathrm{V}$ 进行一步步验证 , 如果 验证机 $\mathrm{V}$ 接受了输入的字符串 $\mathrm{c}$ , 称 验证机 $\mathrm{V}$ 就是计算问题 $\mathrm{A}$ 的验证机 ;

符号化表示 : A = { w : 验 证 机 V 接 受 < w , c > 中 正 确 的 输 入 c } \rm A = \{ w : 验证机 V 接受 <w,c> 中正确的输入 c \} A={w:验证机V接受<w,c>中正确的输入c}

验证操作 : 已经有了正确答案 $\mathrm{c}$ , 有一个有限的规则 , 将正确答案 $\mathrm{c}$ 每一步 , 代入有限规则中进行验证是否正确 ;

验证时间 : 已经有了正确答案 $\mathrm{c}$ , 有一个有限的规则 , 将正确答案 $\mathrm{c}$ 每一步 , 代入有限规则中进行验证是否正确 , 最后记录整个验证过程所花费的时间 ; 即 学习的过程 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 计算问题要求 : 如果花费的时间 在 多项式时间 之内 , 就称 该问题是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 对应的计算问题 ;

多项式时间验证机 : $\mathrm{A}$ 语言 如果 可以在 多项式时间 内 可以 验证 的话 , 就称该语言 有一个 多项式时间验证机 ; ★

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 类就是有 多项式时间验证机 的 语言类 ( 计算问题集合 ) ; ★

1 . $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 类算法举例 : ★

① 蛮力穷举算法 ;

2 . $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 类包含 $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 类 ( $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全 ) , $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 算法举例 : ★

① 布尔可满足性问题 SAT

② 3-SAT

③ 团问题 : 无向图中是否包含 $\mathrm{k}$ 团 , $\mathrm{k}$ 个节点两两之间有边相连 ;

④ 独立集问题

⑤ 顶点覆盖问题

⑥ 哈密顿路径问题

⑦ 旅行商问题

⑧ 子集和问题

3 . $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 类中 , 既不属于 $\mathrm{P}$ , 又不属于 $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 的问题也是存在的 , 如 : ★

① 图同构问题

参考博客 :

• 【计算理论】计算复杂性 ( P 类 | 有效算法函数 | NP 直觉 | NP 简介 | NP 类严格数学定义 )
• 【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ | 布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路 ) ★
• 【计算理论】计算复杂性 ( 3-SAT 是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题证明思路 )
• 【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | 顶点覆盖问题 | 哈密顿路径问题 | 旅行商问题 | 子集和问题 )
• 【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | NP 难 问题 P = NP 的情况 | NP 难 问题 P ≠ NP 的情况 )

三、NPC 类 ( NP 完全 )

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NPC 是 NP-Completeness ( NP 完全 ) 的简称 ;

NP 完全 定义 ★ :

如果 语言 $\mathrm{B}$ 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 必须满足如下两个条件 :

① 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 问题 : 语言 $\mathrm{B}$ 对应的计算问题必须在 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中 , 换句话说就是可以找到一个多项式算法 , 可以验证该计算问题 ;

② 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 最难问题 : 在 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中的任何计算问题 $\mathrm{A}$ , 都可以在 多项式时间规约 到 $\mathrm{B}$ , 也就是说在 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中的任何计算问题 , 其难易程度都不会超过 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{B}$ 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中最难的问题 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中其它所有的计算问题的难以长度都不会超过 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{B}$ 问题是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中最难的问题 ;

NP 完全命题 ★ : 如果 $\mathrm{B}$ 问题是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 并且 $\mathrm{B}$ 能在 多项式时间规约 到 $\mathrm{C}$ , 记作 $\mathrm{B}\le \mathrm{C}$ , 则 $\mathrm{C}$ 也是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

该命题是很重要的命题 , 验证一个命题是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 需要满足上面的两个条件 , ① 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 问题 , ② 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 最难问题 ;

将计算问题与 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中最难问题 $\mathrm{B}$ 进行比较 , 是很难的 , 如果已经知道某个计算问题是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 就不需要与 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中所有问题进行比较 , 只与当前已知的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全问题比较即可 ;

将 已知的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 计算问题 $\mathrm{B}$ , 与 要验证的 $\mathrm{C}$ 问题 , 进行规约 , 就知道 $\mathrm{C}$ 问题是否是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

历史已经找到了一个 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全问题 : 布尔可满足性问题 ( Boolean Satisfiability Problem；SAT ) ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 类包含 $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 类 ( $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全 ) , $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 算法举例 : ★

① 布尔可满足性问题 SAT

② 3-SAT

③ 团问题 : 无向图中是否包含 $\mathrm{k}$ 团 , $\mathrm{k}$ 个节点两两之间有边相连 ;

④ 独立集问题

⑤ 顶点覆盖问题

⑥ 哈密顿路径问题

⑦ 旅行商问题

⑧ 子集和问题

参考博客 :

• 【计算理论】计算复杂性 ( P 类 | 有效算法函数 | NP 直觉 | NP 简介 | NP 类严格数学定义 )
• 【计算理论】计算复杂性 ( 多项式时间规约 | NP 完全 ★ | 布尔可满足性问题 ) ★
• 【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ | 布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路 ) ★
• 【计算理论】计算复杂性 ( 3-SAT 是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题证明思路 )
• 【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | 顶点覆盖问题 | 哈密顿路径问题 | 旅行商问题 | 子集和问题 )
• 【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | NP 难 问题 P = NP 的情况 | NP 难 问题 P ≠ NP 的情况 )

四、P 、NP 、NPC 三者关系

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该观点目前认为是正确的 , 同样也没有严格的证明 ;

$\mathrm{P}\ne \mathrm{N}\mathrm{P}$ 情况分析 : 如果 $\mathrm{P}\ne \mathrm{N}\mathrm{P}$ , 则有

$\mathrm{P}<\mathrm{N}\mathrm{P}$ , ★

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全 $<\mathrm{N}\mathrm{P}$ ★

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 问题 中包含了三种计算问题 : ★

① $\mathrm{P}$ 问题

② $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全问题

③ 其它问题 , 既不属于 $\mathrm{P}$ 问题 , 又不属于 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全问题 ;

图同构问题 , 就属于 其它问题 , 既不属于 $\mathrm{P}$ 问题 , 又不属于 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全问题 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 难 问题 , 包含了 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全问题 , 不包含 $\mathrm{P}$ 问题 和 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中的其它问题 ;

参考博客 : 【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | NP 难 问题 P = NP 的情况 | NP 难 问题 P ≠ NP 的情况 )