1、动态规划：完全背包理论基础
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大
完全背包和01背包问题 唯一不同 的地方就是，每种物品有无限件
leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理
依然举这个例子：
背包最大重量为4
物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个
问背包能背的物品最大价值是多少
01背包和完全背包 唯一不同 就是体现在 遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序进行分析
首先再回顾一下01背包的核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量，从后往前避免重复dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}
完全背包dp状态图如下：
其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？
01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量，之所以会有两个循环的固定顺序，是为了内层循环从大到小可以去重
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的，因为完全背包不需要去重
dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了
遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
先遍历背包再遍历物品，代码如下：
// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}cout << endl;
}
使用 卡码网第52题 进行测试
根据思路实现代码：
注意开的动态规划数组大小为v + 1，0-v重量
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;void getMaxValue(int n, int v) {vector<int> dp(v + 1, 0);//注意开的动态规划数组大小为v+1，0-v重量vector<int> weight(n, 0);vector<int> value(n, 0);for(int i = 0; i < n; i++) {cin >> weight[i] >> value[i];}for(int i = 0; i < value.size(); i++) {for(int j = weight[i]; j <= v; j++) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[v] << endl;return;
}int main() {int n;int v;while(cin >> n >> v) {getMaxValue(n, v);}return 0;
}
代码随想录实现代码：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack(vector<int> weight, vector<int> value, int bagWeight) {vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {int N, V;cin >> N >> V;vector<int> weight;vector<int> value;for (int i = 0; i < N; i++) {int w;int v;cin >> w >> v;weight.push_back(w);value.push_back(v);}test_CompletePack(weight, value, V);return 0;
}
1.2 总结
全文说的都是对于 “纯” 完全背包问题，其for循环的先后顺序是可以颠倒的
但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上
如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了
2、完全背包 组合
2.1 leetcode 518：零钱兑换II
第一遍代码：
dp[0] = 1; 需要有这个初值，正好 j 就是货币的面额的时候就是1
注意两个循环的顺序，物品在外价值在内
class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount + 1, 0);dp[0] = 1;//需要有这个初值，正好amount就是货币的面额的时候就是1//注意两个循环的顺序，物品在外价值在内for(int i = 0; i < coins.size(); i++) {for(int j = coins[i]; j <= amount; j++) {dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
};
思路
这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢（第一遍代码没考虑到）
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了
组合 不强调元素之间的顺序，排列 强调元素之间的顺序
回归本题，动规五步曲来分析如下：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2、确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
这个递推公式大家应该不陌生了，在讲解01背包题目的时候 leetcode 494：目标和 中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
3、dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了
下标非0的dp[j] 初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
dp[0]=1说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法
4、确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢
因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序 没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序
所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的；本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数，那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额） 的情况。
代码如下：
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量**只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}**的情况
原因是只有dp[1]参与了第二次i = 1的时候得到dp[6]，因为第二层开始的起点是从coins[i] 开始，意味着当把 coins[1] 5加入计算后，不会再加上dp[1] 的值了（所以不存在{5，1}，只有{1，5}（原来存在1，补上个5就成了，统计的其实是1的组合次数）），而是直接利用之前的dp[1] 整出了dp[6]
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了 {1, 5} 和 {5, 1} 两种情况
原因是除了dp[1]参与了第二次i = 1的时候得到dp[6]，dp[5]也参与了，因为第二层都是遍历所有物品的，意味着当把 coins[1] 5加入计算后，还要再加上dp[5] 的值（所以比之前多加了{5，1}），同时利用之前的dp[1] 和之前的dp[5] 整出了dp[6]
此时dp[j]里算出来的就是排列数
5、举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
代码随想录实现代码与第一遍代码一致
时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度
空间复杂度: O(m)
2.2 leetcode 518：总结
本题的递推公式，其实我们在 leetcode 494：目标和 中就已经讲过了，而难点在于遍历顺序
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品
3、完全背包 排列
3.1 leetcode 377：组合总和 Ⅳ（求的是排列）
第一遍代码：
class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for(int i = 0; i <= target; i++) {for(int j = 0; j < nums.size(); j++) {if(i - nums[j] >= 0) dp[i] += dp[i - nums[j]];}}return dp[target];}
};
报错：runtime error: signed integer overflow: 2147483647 + 1 cannot be represented in type 'int'
说明超int限制了，首先检查有数相加的情况，看看有没有超过
if加一条限制，保证相加不超过int的取值范围dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]
class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for(int i = 0; i <= target; i++) {for(int j = 0; j < nums.size(); j++) {if(i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) dp[i] += dp[i - nums[j]];//要保证相加不超过int的取值范围}}return dp[target];}
};
代码随想录思路
本题其实是求排列
本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来
如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜
动规五部曲分析如下：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
2、确定递推公式
dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j] （理解为什么上节是组合 这节是排列的核心）） 推导出来，因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分
在 leetcode 494：目标和 和 leetcode 518：零钱兑换II 中已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];，本题也一样
3、dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础
至于dp[0] = 1 有没有意义，因为题目中说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式
至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢
初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]
4、确定遍历顺序
个数可以不限使用，说明这是一个完全背包
得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序
本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历
5、举例来推导dp数组
再来用示例中的例子推导一下：
代码随想录C++代码如下：
class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
};
C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]
3.2 leetcode 377：总结
求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序
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