数据结构：AVL树的旋转（高度平衡树）

1、AVL树简介

 AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

  • 它的子树都是AVL树
  • 左右子树高度插（平衡因子）的绝对值不超过1

AVL树还是一个搜索二叉树，只不过因为普通的搜索二叉树有可能变成单只树，这样就使查找效率非常的低。我们就给普通的搜索二叉树增加了一个平衡因子来使AVL左右子树的高度差的绝对值不超过1

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;              pair<K, V> _kv;                          // 存储的键对int _bf;                                 // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv);bool IsBalance();void InOrder();void Height();private:void RotateL(Node* parent);              //左旋转void RotateR(Node* parent);              //右旋转void RotateRL(Node* parent);             //右左旋转void RotateLR(Node* parent);             //左右旋转bool _IsBalance(Node* root);void _InOrder(Node* root);int _Height(Node* root);Node* _root = nullptr;
};

2、AVL树的插入

  • AVL树的插入前面和搜索二叉树的插入一模一样，只不过我们要注意平衡因子
  • 因为AVL树保持平衡是要平衡因子的绝对值不超过1，而插入会使平衡因子改变，所以我们也要要相应的旋转，使平衡因子的绝对值不超过一，我们又有几种情况
  1. 假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
  2. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR，当subR的平衡因子为1时，执行左单旋。当subR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
  3. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL，当subL的平衡因子为-1是，执行右单旋。当subL的平衡因子为1时，执行左右双旋
  4. 旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新
template<class K, class V>
bool AVLTree<K, V>::Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续更新parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 需要旋转处理 -- 1、让这颗子树平衡 2、降低这颗子树的高度if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;
}

2.1、左单旋

  1. subRL变成parent的右子树 
  2. parent变成subR的左子树
  3. subR变成新根
  4. 更新平衡因子
template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.2、右单旋

60为parent，30为subL，b为subLR 

  1. subLR变成parent的左子树 
  2. parent变成subL的右子树
  3. subL变成新根
  4. 更新平衡因子
template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.3、左右双旋 

先对30进行左单旋，先对90右单旋

template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else{assert(false);}
}

2.3、右左双旋 

先对90进行右单旋，先对30左单旋 

template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){// subRL自己就是新增parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){// subRL的左子树新增parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){// subRL的右子树新增parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

 3、AVL树的性能

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，一般是用平衡因子差值判断是否平衡并通过旋转来实现平衡，左右子树树高不超过1，和红黑树相比，它是严格的平衡二叉树，平衡条件必须满足（所有节点的左右子树高度差不超过1）。不管我们是执行插入还是删除操作，只要不满足上面的条件，就要通过旋转来保持平衡，而旋转是非常耗时的，由此我们可以知道AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。

如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合

4、实现

#include<assert.h>template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;              pair<K, V> _kv;                          // 存储的键对int _bf;                                 // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv);bool IsBalance();void InOrder();void Height();private:void RotateL(Node* parent);              //左旋转void RotateR(Node* parent);              //右旋转void RotateRL(Node* parent);             //右左旋转void RotateLR(Node* parent);             //左右旋转bool _IsBalance(Node* root);void _InOrder(Node* root);int _Height(Node* root);Node* _root = nullptr;
};template<class K, class V>
bool AVLTree<K, V>::Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续更新parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 需要旋转处理 -- 1、让这颗子树平衡 2、降低这颗子树的高度if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;
}template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;
}template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){// subRL自己就是新增parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){// subRL的左子树新增parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){// subRL的右子树新增parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else{assert(false);}
}template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::InOrder()
{_InOrder(_root);cout << endl;
}template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::_InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);
}template<class K, class V>
bool AVLTree<K, V>::IsBalance()
{return _IsBalance(_root);
}template<class K, class V>
int AVLTree<K, V>::_Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::Height()
{cout << _Height(_root) << endl;
}template<class K, class V>
bool AVLTree<K,V>::_IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);
}

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