坐标系下的运动旋量转换

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前言

对于刚体而言，其角速度可以写为$\hat{\omega }\dot{\theta }$，其中，$\hat{\omega }$为单位转轴，$\dot{\theta }$为绕着转轴转动的角速度大小。运动旋量则用来描述物体角速度与线速度的组合。由于在机器人学中，运动旋量可能需要描述在不同坐标系之下，本文参考凯文·M.林奇的《现代机器人学》，对运动旋量概念与坐标系下的运动旋量转换进行梳理与总结，便于自己后续回忆。

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一、运动旋量

首先，定义有单位螺旋轴$S=(\omega ,v_x,v_y,v_z)（\omega =1）$，利用旋转速度$\dot{\theta }$与之相乘，由此可得运动旋量$V=S\dot{\theta }$。这里注意：通过绕螺旋轴$S$转动$\theta$角的位移与以速度$\dot{\theta }=\theta$绕螺旋轴$S$转动单位时间完全相等，因此，$V=S\dot{\theta }$可同样看作为指数坐标（刚体转动的指数坐标，可以等效为单位转轴$\hat{\omega }(\hat{\omega }\in R^3,||\hat{\omega }||=1)$）与绕该轴线的转角$\theta \in R$。

在对运动旋量有了大致了解以后，正式进入正题，即何为物体运动旋量、何为空间运动旋量。

物体运动旋量

首先，用 { s } \{s\} {s}与 { b } \{b\} {b}分别描述固定（空间）坐标系和移动（物体）坐标系。则有
$$T_{sb}(t)=\left[\begin{array}{cc}R(t)& p(t)\\ 0& 1\end{array}\right]$$
其中，$T_{sb}$表示从空间坐标系到物体坐标系的转换集合矩阵，后续可用$T$代替。令$T^{-1}\dot{T}$，则有
$$T^{-1}\dot{T}=\left[\begin{array}{cc}{R}^T& -R^{T}p\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\dot{R}& \dot{p}\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}^T\dot{R}& R^T\dot{p}\\ 0& 1\end{array}\right]$$
其中，$R^T\dot{R}=R^{-1}\dot{R}=[{\omega }_b]$，这里的$[{\omega }_b]$即为物体坐标系 { b } \{b\} {b}下的刚体角速度的反对称矩阵，$[\ast ]$符号代表$\ast$的反对称矩阵。具体证明过程可参考书籍，这里不再展开。同理，$\dot{p}$代表坐标系 { s } \{s\} {s}中描述的 { b } \{b\} {b}的原点的线速度，因此，$R^T\dot{p}=R^{-1}\dot{p}=v_b$则为在物体坐标系 { b } \{b\} {b}中描述 { s } \{s\} {s}的原点的线速度。可进一步阐述为：$T^{-1}\dot{T}$表示动坐标系相对于当前与其瞬时重合的静坐标系 { b } \{b\} {b}的线速度与角速度。
构造六维向量$V_b=\left[\begin{array}{c}{\omega }_b\\ v_b\end{array}\right]$，定义其为物体坐标系中的速度，简称为物体运动旋量。写为矩阵形式为
$$T^{-1}\dot{T}=[V_b]=\left[\begin{array}{cc}[{\omega }_b]& v_b\\ 0& 1\end{array}\right]\in se(3)$$
这里可以注意，六维向量$V_b$的反对称矩阵的撰写形式，即原部矢量$w_b$取反对称形式，偶部矢量不改变形式。

空间运动旋量

同理，可以推导$\dot{T}{T}^{-1}$有
$$V_s=\left[\begin{array}{c}{\omega }_s\\ v_s\end{array}\right]\in R^6,\dot{T}{T}^{-1}=[V_s]=\left[\begin{array}{cc}[w_s]& v_s\\ 0& 1\end{array}\right]\in se(3)$$
此时，$V_s$描述空间固定坐标系中的速度，因此被称为空间运动旋量。

二、伴随变换矩阵

在第一节中，描绘了分别在两个坐标系下的运动旋量，即$V_b$与$V_s$，那么，如果我们已知这两个坐标系的转换矩阵$T_{sb}=(R_{sb},p_{sb})\in SE(3)$，我们是否可以对这两个运动旋量建立联系呢？答案就是伴随变换矩阵。即有
$$V_s=\left[\begin{array}{c}{\omega }_s\\ v_s\end{array}\right]=[A{d}_{T_{sb}}]V_b=\left[\begin{array}{cc}{R}_{sb}& 0\\ [p_{sb}]R_{sb}& R_{sb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\omega }_b\\ v_b\end{array}\right]$$
其中，$[A{d}_{T_{sb}}]=\left[\begin{array}{cc}{R}_{sb}& 0\\ [p_{sb}]R_{sb}& R_{sb}\end{array}\right]\in R^{6\times 6}$即为该伴随变换矩阵。
将其化为矩阵形式，则有
$$[V_s]=T_{sb}[V_b]T^{-1}$$

三、坐标系下运动旋量的转换

结合第二、三节内容，即可总结空间、物体坐标系下运动旋量的转换关系：$T_{sb}(t)=T(t)=\left[\begin{array}{cc}R(t)& p(t)\\ 0& 1\end{array}\right]\in SE(3)$仍表示固定坐标系 { s } \{s\} {s}到物体坐标系 { b } \{b\} {b}的位姿转换矩阵（这里的$SE(3)$即为一种特殊李群）。则有
物体运动旋量（body twist）
$$T^{-1}\dot{T}=[V_b]=\left[\begin{array}{cc}[{\omega }_b]& v_b\\ 0& 1\end{array}\right]\in se(3)$$
空间运动旋量（spatial twist）
$$\dot{T}{T}^{-1}=[V_s]=\left[\begin{array}{cc}[{\omega }_s]& v_s\\ 0& 1\end{array}\right]\in se(3)$$
运动旋量$V_b$与$V_s$存在关系为
$$V_s=\left[\begin{array}{c}{\omega }_s\\ v_s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}_{sb}& 0\\ [p_{sb}]R_{sb}& R_{sb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\omega }_b\\ v_b\end{array}\right]=[A{d}_{T_{sb}}]V_b$$
$$V_b=\left[\begin{array}{c}{\omega }_b\\ v_b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}_{sb}^T& 0\\ -R_{sb}^T[p_{sb}]& R_{sb}^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\omega }_s\\ v_s\end{array}\right]=[A{d}_{T_{sb}}]V_s$$
这里友情提示下，在《现代机器人学》第三次印刷本中，对于$V_s$到$V_b$的转换似乎存在小错误，不过问题不大，一般都能看出来，自行矫正即可。

四、力旋量

与运动旋量对应的，也存在着力旋量的定义。对作用于空间物体上的力矩$m_a$与$f_a$，同样可将其合成为六维的空间力的形式，其称为力旋量（wrench），在坐标系 { a } \{a\} {a}中可描述为
$$F_a=\left[\begin{array}{c}{m}_a\\ f_a\end{array}\right]\in R^6$$
如若作用于刚体的力旋量不唯一，即将其通过力旋量的六维形式直接相加即可。无力元素的力旋量则被称为纯力偶（pure moment）。
关于力旋量的转换关系，基于系统功率一定原则，最终可推导出：
$$F_b=[A{d}_{T_{ab}}^T]F_a$$
其中，$F_a$与$F_b$分别为坐标系 { a } \{a\} {a}与坐标系 { b } \{b\} {b}中的力旋量，$T_{ab}$为坐标系 { a } \{a\} {a}到坐标系 { b } \{b\} {b}的转换矩阵。

五、总结

在学习运动旋量与李群李代数时，一开始感觉确实有些晦涩且难以理解，但是在反复学习时，又感觉其形式简洁且非常实用，因此在这里学习记录，供后续参考。

参考资料

【1】https://www.bilibili.com/video/BV1KV411Z7sC/?p=17&vd_source=029a7426f7a6cecb96f1969e1ce8aff7。
【2】现代机器人学：机构、规划与控制。