float和double(浮点型数据)在内存中的储存方法

作者:元清加油
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编译环境:visual studio 2022 (x86)

相信大家都知道数据在内存中是以二进制储存的

整数的储存方法是首位是符号位,后面便是数值位

那么浮点数在内存中是怎么储存的呢?我们先来看一个例子?

#include<iostream>
using namespace std;int main()
{int n = 9;float* pFloat = (float*)&n;printf("n的值为:%d\n", n);printf("*pFloat的值为:%.f\n", *pFloat);*pFloat = 9.0;printf("n的值为:%d\n", n);printf("*pFloat的值为:%f\n", *pFloat);return 0;
}

打印出来是?

n的值为: 9
*pFloat的值为:0
n的值为:1091567616
*pFloat的值为:9.000000

num 和 *pFloat 在内存中明明是同一个数,为什么浮点数和整数打印出来不一样
要理解这个结果,一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法

根据国际标准 IEEE (电气和电子工程协会) 754 ,任意一个二进制浮点数 V 可以表示成下面的形式:

  • V =(-1)^S * M * 2^E
  • (-1)^S 表示符号位
    当 S=0 , V 为正数
    当 S=1 , V 为负数
  • M 表示有效数字,大于等于 1 ,小于 2
  • 2^E 表示指数位

所以当我们得出一个浮点数的S和M以及E,便可以得出这个数的大小
我们如何得到一个浮点数的S和M以及E呢

十进制的 5.0 ,写成二进制是 101.0 ,可以得出
(表示符号位) S=0
(表示有效数字)M=1.01
(表示指数位)E=2
十进制的-5.0,写成二进制是 -101.0 ,可以得出
(表示符号位) S=1
(表示有效数字)M=1.01
(表示指数位)E=2

十进制的 123.125 ,写成二进制是 1111011.001 ,可以得出
(表示符号位) S=0
(表示有效数字)M=1.111011001
(表示指数位)E= 6

IEEE 754规定:
对于32位的浮点数,最高的1位是符号位s,接着的8位是指数E,剩下的23位为有效数字M。
32
对于64位的浮点数,最高的1位是符号位S,接着的11位是指数E,剩下的52位为有效数字M
在这里插入图片描述

IEEE 754对有效数字M指数E,还有一些特别规定

  1. 有效数字M的规定
  • 1≤M<2 ,也就是说, 有效数字M 可以写成 1.xxxxxx 的形式,其中xxxxxx 表示小数部分
  • IEEE 754规定,在计算机内部保存有效数字M时,默认这个数的第一位总是1,因此可以被舍去,只保存后面的 xxxxxx部分
  • 比如保存 1.01 的时候,只保存01,等到读取的时候,再把第一位的 1 加上去。
  • 这样做的目的,是节省 1 位有效数字。以 32 位 浮点数为例,留给M 只有 23 位,将第一位的 1 舍去以后,等于可以保存 24 位有效数字。
  1. 指数E的规定
  • 首先, E 为一个无符号整数( unsigned int )
    (1) 如果 E 为 8 位,它的取值范围为 0到255
    (2) 如果 E 为 11 位,它的取值范围为 0到2047
    科学计数法中的E是可以出现负数的,
    所以IEEE 754规定,存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数,
    (1) 对于8位的E,这个中间数 是127
    (2) 对于11位的E,这个中间数是1023
    比如,2^10 的 E 是 10 ,所以保存成 32 位浮点数时,必须保存成 10+127=137 ,即 10001001。

  • E不全为0或不全为1
    这时,浮点数就采用下面的规则表示,即指数E的计算值减去127(或1023),得到真实值,再将有效数字M前加上第一位的1。
    比如:十进制0.5(1/2)的二进制形式为0.1,由于规定正数部分必须为1,即将小数点右移1位, 其阶码E为-1+127=126,表示为01111110,
    而尾数1.0去掉整数部分为0,补齐0到23位00000000000000000000000,则其二进制表示形式为:0 01111110 00000000000000000000000

  • E全为0
    这时,浮点数的指数E等于1-127(或者1-1023)即为真实值,
    有效数字M不再加上第一位的1,而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0,以及接近于0的很小的数字。

  • E全为1
    这时,如果有效数字M全为0,表示±无穷大(正负取决于符号位s)


我们回到上面的问题

	int n = 9;float* pFloat = (float*)&n;printf("n的值为:%d\n", n);printf("*pFloat的值为:%f\n", *pFloat);*pFloat = 9.0;printf("n的值为:%d\n", n);printf("*pFloat的值为:%f\n", *pFloat);

在这里插入图片描述

  1. 为什么 9 强转成浮点数,就成了 0.000000

9 -> 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001

当他是整型时候是9
当他是浮点型时候,我们可以得出

  • 符号位 s=0
  • 指数 E=00000000
  • 有效数字 M=000 0000 0000 0000 0000 1001

由于指数 E 全为 0 ,所以符合上一节的第二种情况
显然, V 是一个很小的接近于 0 的正数,所以用十进制小数表示就是 0.000000

首先,浮点数 9.0 等于二进制的 1001.0 ,即 1.001×2^3 。

  • 符号位 s = 0
  • 有效数字 M 等于 001 后面再加 20 个0 ,凑满 23 位
  • ***指数 E 等于 3+127=130 , 即10000010 ***
    所以,写成二进制形式:

0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000

这个 32 位的二进制数,还原成十进制,正是 1091567616 。

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