今天看一个在深度学习中很枯燥但很重要的概念——交叉熵损失函数。

作为一种损失函数，它的重要作用便是可以将“预测值”和“真实值(标签)”进行对比，从而输出 loss 值，直到  loss 值收敛，可以认为神经网络模型训练完成。

那么这个所谓的“交叉熵”到底是什么，为什么它可以用来作为损失函数呢？

1、熵与交叉熵

“交叉熵”包含了“交叉”和“熵”这两部分。

关于“熵”的描述在理解熵的本质一文中有更详细的说明。总的来说，熵可以用来衡量一个随机变量的不确定性，数学上可表示为：

H(i) = - ∑ P(i) * log(P(i))

对于上面的公式，我们稍微变一下形，将负号和 log(P(i)) 看做一个变量，得到：

PP(i) = -log(p(i))

那么熵的公式就可以写作：H(i) = ∑ P(i) * PP(i)

此时熵的公式中，P(i) 和 PP(i) 是服从相同的概率分布。因此，熵H(i)就变成了事件 PP(i) 发生的数学期望，通俗理解为均值。

熵越大，表示事件发生的不确定性越大。而交叉熵是用于比较两个概率分布之间的差异，对于两个概率分布 P 和 Q 而言，

交叉熵定义为：

H(i) = ∑ P(i) * Q(i)

此时，P(i) 和 Q(i) 服从两种不同的概率分布，交叉熵的“交叉”就体现在这。

其中 P(i) 为真实分布，也就是训练过程中标签的分布；Q(i) 为预测分布，也就是模型每轮迭代输出的预测结果的分布。

交叉熵越小，表示两个概率分布越接近。

从而模型预测结果就越接近真实标签结果，说明模型训练收敛了。

关于更细节的数学原理，可以查看熵的本质，不过我们也可以不用深究，理解上述结论就可以。

2、交叉熵作为损失函数

假设有一个动物图像数据集，其中有五种不同的动物，每张图像中只有一只动物。

来源：https: //www.freeimages.com/

我们将每张图像都使用 one-hot 编码来标记动物。对one-hot编码不清楚的可以移步这里有个你肯定能理解的one-hot。

上图是对动物分类进行编码后的表格，我们可以将一个one-hot 编码视为每个图像的概率分布，那么：

第一个图像是狗的概率分布是 1.0 (100%)。

对于第二张图是狐狸的概率分布是1.0（100%）。

以此类推，此时，每个图像的熵都为零。

换句话说，one-hot 编码标签 100% 确定地告诉我们每张图像有哪些动物：第一张图片不可能 90% 是狗，10% 是猫，因为它100%是狗。

因为这是训练的标签，是固定下来的确定分布。

现在，假设有一个神经网络模型来对这些图像进行预测，在神经网络执行完一轮训练迭代后，它可能会对第一张图像（狗）进行如下分类：

该分类表明，第一张图像越 40%的概率是狗，30%的概率是狐狸，5%的概率是马，5%的概率是老鹰，20%的概率是松鼠。

但是，单从图像标签上看，它100%是一只狗，标签为我们提供了这张图片的准确的概率分布。

那么，此时如何评价模型预测的效果呢？

我们可以计算利用标签的one-hot编码作为真实概率分布 P，模型预测的结果作为 Q 来计算交叉熵：

结果明显高于标签的零熵，说明预测结果并不是很好。

继续看另一个例子。

假设模型经过了改良，在完成一次推理或者一轮训练后，对第一张图得到了如下的预测，也就是说这张图有98%的概率是狗，这个标签的100%已经差的很少了。

我们依然计算交叉熵：

可以看到交叉熵变得很低，随着预测变得越来越准确，交叉熵会下降，如果预测是完美的，它就会变为零。

基于此理论，很多分类模型都会利用交叉熵作为模型的损失函数。

在机器学习中，由于多种原因（比如更容易计算导数），对数 log 的计算大部分情况下是使用基数 e 而不是基数 2 ，对数底的改变不会引起任何问题，因为它只改变幅度。