机器学习笔记——常用损失函数

大家好，这里是好评笔记，公主号：Goodnote，专栏文章私信限时Free。本笔记介绍机器学习中常见的损失函数和代价函数，各函数的使用场景。

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损失函数

一、回归问题中的损失函数

1. 均方误差（Mean Squared Error, MSE）

定义：

$\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2$

描述：MSE 衡量的是预测值和真实值之间的平方误差的平均值。对较大的误差会进行更大的惩罚，因此它对异常值（outliers）非常敏感。
应用场景：线性回归、岭回归等模型的损失函数。
优点：简单易于理解，容易求导和计算。
缺点：对异常值敏感，可能导致模型被少数异常样本主导。

2. 平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）

定义：
$\text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \hat{y}_i|$

描述：MAE 衡量的是预测值和真实值之间的绝对误差的平均值。它对每个误差的惩罚是线性的，因此对异常值的惩罚不如 MSE 严重。
应用场景：在对异常值不敏感的回归任务中使用。
优点：对异常值不敏感，能够更加稳定地反映模型性能。
缺点：在优化过程中，绝对值函数不可导，求解困难。

3. 对数余弦损失（Log-Cosh Loss）

定义：
$\text{Log-Cosh Loss} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log\left(\cosh\left(y_i - \hat{y}_i\right)\right)$

说明： $\cosh(x)$ : 双曲余弦函数，公式为 $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ 。

描述：对数余弦损失是Huber 损失的变体，它的行为类似于 MAE，同时对大误差有更小的增长率。
应用场景：适用于异常值影响较大的回归任务。
优点：具有平滑性，易于求导，对小误差敏感而对大误差鲁棒。
缺点：相比其他损失函数计算复杂度较高。

4. Huber 损失（Huber Loss）

定义：
$L(y_i, \hat{y}_i) = \begin{cases} \frac{1}{2} (y_i - \hat{y}_i)^2 & \text{if } |y_i - \hat{y}_i| \leq \delta, \\ \delta \cdot |y_i - \hat{y}_i| - \frac{1}{2} \delta^2 & \text{if } |y_i - \hat{y}_i| > \delta. \end{cases}$

$\delta$ : 超参数，定义切换 MSE 和 MAE 的阈值。
$|y_i - \hat{y}_i|$ : 误差的绝对值。

描述：Huber 损失是MSE 和 MAE 的折中。对于小误差，使用 MSE；对于大误差，使用 MAE，从而对异常值有一定的鲁棒性。
应用场景：回归问题中存在异常值，但又不希望过于忽略异常值的场景。
优点：对小误差敏感，同时对大误差具有一定的抗干扰性。
缺点：参数 ( $\delta$ ) 需要手动调节，不同数据集效果不同。

5. 平均平方对数误差（Mean Squared Logarithmic Error, MSLE）

定义：
$\text{MSLE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \log(1 + y_i) - \log(1 + \hat{y}_i) \right)^2$

$n$ : 数据点的总数。
$y_i$ : 第 $i$ 个真实值（必须为非负数）。
$\hat{y}_i$ : 第 $i$ 个预测值（必须为非负数）。
$\log(1 + x)$ : 对 $x$ 加 1 后取自然对数，用于平滑较小的值和避免对 0 的对数操作。

描述：MSLE 用于处理目标值差异较大且有显著指数增长趋势的情况。它更关注相对误差，而非绝对误差。
应用场景：如人口增长预测、市场销量预测等场景。
优点：对大数值的预测更稳定，对目标值的比例关系有更好的衡量。
缺点：当目标值非常小时，惩罚效果不明显。

总结

损失函数	描述	应用场景	优点	缺点
均方误差 (MSE)	衡量预测值和真实值之间平方误差的平均值，对较大误差进行更大惩罚。	线性回归、岭回归等	简单易于理解，容易求导。	对异常值敏感。
平均绝对误差 (MAE)	衡量预测值和真实值之间绝对误差的平均值。	对异常值不敏感的回归任务	对异常值不敏感，反映模型性能更稳定。	优化困难，绝对值函数不可导。
对数余弦损失 (Log-Cosh)	Huber 损失的变体，既能捕捉小误差，也对大误差有更小的增长率。	异常值影响较大的回归任务	平滑性好，易于求导，适应大误差和小误差。	计算复杂度高。
Huber 损失 (Huber Loss)	结合MSE和MAE，小误差时使用 MSE，大误差时使用 MAE，平衡异常值的影响。	存在异常值但不希望完全忽略的场景	对小误差敏感，对大误差有抗干扰性。	需调节参数 (delta)。
平均平方对数误差 (MSLE)	衡量目标值差异大且有指数增长趋势的情况，关注相对误差而非绝对误差。	人口增长预测、市场销量预测等	对大数值预测更稳定，适应有比例关系的数据。	对极小值目标效果不佳。

二、分类问题中的损失函数

1. 0-1 损失（0-1 Loss）

定义：

$L_(y, \hat{y}) = \begin{cases} 0, & \text{if } y = \hat{y}, \\ 1, & \text{if } y \neq \hat{y}. \end{cases}$

描述：0-1 损失表示分类是否正确，0 为正确分类，1 为错误分类。它无法直接用于模型优化，只能用于评价模型性能。
应用场景：模型性能的评估，如准确率（Accuracy）的计算。
优点：简单直观，能够清晰判断分类是否正确。
缺点：不可导，无法用于梯度优化。

2. 对数损失（Log Loss）或交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）

描述：交叉熵损失衡量的是预测分布和真实分布之间的距离。在二分类与 Sigmoid 函数结合；在多分类与 Softmax 函数结合。
应用场景：广泛用于逻辑回归、神经网络等分类任务。
优点：能够很好地度量概率分布之间的差异，梯度计算简单。
缺点：对数据不平衡较为敏感。

二分类问题

在二分类问题中，交叉熵损失衡量真实标签 ( $y$ ) 和预测概率 ( $\hat{y}$ ) 之间的差异。公式为：

$\hat{y}) = - \left[ y \log(\hat{y}) + (1 - y) \log(1 - \hat{y}) \right]$
符号说明

$\in \{0, 1\}$ ：真实标签（0 表示负类，1 表示正类）。
$\hat{y} \in [0, 1]$ ：预测为正类的概率。

多分类问题

对于 $k$ 个类别的多分类问题，交叉熵损失扩展为多个输出类的加权损失，公式为：

$\hat{y}) = - \sum_{i=1}^{k} y_i \log(\hat{y}_i)$

符号说明

$k$ ：类别数量。
$y_i \in \{0, 1\}$ ：第 $i$ 类的真实标签，使用独热编码表示（只有一个值为 1，其余为 0）。
$\hat{y}_i \in [0, 1]$ ：模型预测的第 $i$ 类的概率，通常通过 softmax 函数获得。

Sigmoid 函数：

公式：
$\sigma(z)=\frac1{1+e^{-z}}$
其中， $z$ 是模型的线性输出，即预测值。
Sigmoid 函数将模型的线性输出 $z$ 转化为一个介于 0 和 1 之间的值，表示属于类别 1 的概率。

交叉熵损失：

在二分类任务中，真实标签 $y$ 通常取 0(负类)或1(正类)。
交叉熵损失的公式为： $\mathrm{Loss}=-\left[y\cdot\log(p)+(1-y)\cdot\log(1-p)\right]$
其中， $p=\sigma(z)$ 是经过 Sigmoid 函数后模型预测属于类别 1 的概率。

Softmax 函数：

公式： $\mathrm{Softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}$
其中， $z_i$ 是第 $i$ 个类别的得分， $\sum_j e^{z_j}$ 是所有类别的得分的指数和。
Softmax 函数将每个类别的得分 $z_i$ 转化为一个概率 $p_i$ ，即样本属于第 $i$ 个类别的概率。

交叉熵损失：

在多分类任务中，真实标签 $y$ 是一个 one-hot 编码向量，即样本的真实类别的概率是 1，其他类别的概率是 0。
交叉熵损失的公式： $\text{Loss} = -\sum_i y_i \cdot \log(p_i)$
其中， $p_i$ 是 Softmax 函数输出的属于类别 $i$ 的概率， $y_i$ 是真实的类别标签，通常为 0 或 1。

3. Focal 损失（Focal Loss）

定义：
$\text{Focal Loss} = -\alpha_t (1 - \hat{p}_t)^\gamma \log(\hat{p}_t)$

其中：
- $\hat{p}_t$ 是模型对正确类别的预测概率。
- $\alpha_t$ 是类别平衡权重，用来调整类别不平衡问题， $\alpha_t \in [0, 1]$ ，通常用于为不同类别分配不同的权重。
- $\gamma$ 是调节因子，控制模型对难分类样本的关注程度，常取值为 0 到 5 之间，通常选取 $\gamma = 2$ 效果较好。

注：t 是该样本的真实类别标签

$\hat{p}_{t}$ : 这是模型对样本真实类别 $t$ 的预测概率。假设样本属于类别 $t$ ，则 $\hat{p}_{t}$ 就是模型对类别 $t$ 的预测概率。如果是二分类任务， $t$ 为 1 代表正类，为 0 代表负类；如果是多分类任务， $t$ 是类别的索引。
$\alpha_{t}$ : 这是类别 $t$ 的权重系数。通过 $t$ ，可以为当前样本所属类别 $t$ 分配一个权重 $\alpha_{t}$ 。对于不平衡数据集来说， $\alpha_{t}$ 通常设置为少数类的权重大，主要用来调整损失函数对不同类别样本的关注程度。

描述：Focal 损失是对交叉熵损失的改进，用于解决类别不平衡问题。通过调节参数 ( $\gamma$ ) 和 ( $\alpha$ )，它增加了对困难样本的关注，降低了对易分类样本的影响。
应用场景：目标检测中的单阶段检测器（如 RetinaNet），以及其他类别不平衡的分类问题。
优点：有效解决类别不平衡问题，增强模型对困难样本的关注。
缺点：参数选择复杂，训练时间较长。

4. Hinge 损失（合页损失）

定义：对于二分类问题：
$\hat{y}) = \max(0, 1 - y \cdot \hat{y})$

其中， $\in \{ -1, 1 \}$ ， $\hat{y}$ 是模型的预测输出。

描述：Hinge 损失用于支持向量机（SVM）中。它在样本被正确分类且间隔大于 1 时，损失为 0；否则损失为 1。旨在最大化样本的分类间隔。
应用场景：线性支持向量机、核支持向量机等。
优点：有助于最大化分类间隔，提高模型的泛化能力。
缺点：对于误差大的样本损失增长过快。

5. Kullback-Leibler 散度（KL Divergence）

定义：
$\parallel q) = \sum_i p(x_i) \log \frac{p(x_i)}{q(x_i)}$

描述：KL 散度衡量两个概率分布之间的差异，常用于无监督学习中的聚类分析。
应用场景：概率模型的优化，如变分自编码器（VAE）、生成对抗网络（GAN）中的判别模型。
优点：对概率分布之间的微小差异非常敏感。
缺点：对稀疏分布的概率模型不稳定。

总结

损失函数	描述	应用场景	优点	缺点
0-1 损失 (0-1 Loss)	分类正确为 0，错误为 1，用于衡量分类是否正确。	准确率等分类性能评估	简单直观。	不可导，无法用于优化。
交叉熵损失 (Cross-Entropy)	衡量预测分布和真实分布之间的距离，二分类结合 Sigmoid，多分类结合 Softmax。	逻辑回归、神经网络等分类任务	很好地衡量概率分布差异，梯度计算简单。	对数据不平衡敏感。
Focal 损失 (Focal Loss)	交叉熵的改进，通过调节 ( gamma ) 和 ( alpha )，增加对困难样本的关注，减少易分类样本影响，解决类别不平衡问题。	类别不平衡问题，如目标检测 (RetinaNet)	增强对困难样本的关注，解决类别不平衡。	参数选择复杂，训练时间较长。
Hinge 损失 (合页损失)	用于 SVM，正确分类且间隔大于 1 时损失为 0，旨在最大化分类间隔。	线性 SVM、核 SVM	提高泛化能力，有助于最大化分类间隔。	对误差大的样本损失增长快。
KL 散度 (KL Divergence)	衡量两个概率分布的差异，常用于无监督学习中的聚类分析。	概率模型优化，如 VAE、GAN	对概率分布的差异敏感。	对稀疏分布不稳定。