图论——二分图

二分图通俗解释

有一个图，将顶点分成两类，边只存在不同类顶点之间，同类顶点之间设有边。称图 G 为二部图，或称二分图，也称欧图。

性质

• 二分图不含有奇数环
• 图中没有奇数环，一定可以转换为二分图

判断二分图——染色法（dfs）

可以用二染色方式染色，那么就是二分图

代码

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v 之间存在一条边。

输出格式

如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

#include <cstring>
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;// 链式前向星 
int h[N], e[M], ne[M], idx;void add(int a, int b) {e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx ++;
}// 各个点的颜色，0 未染色，1 是红色，2 是黑色 
int color[N];bool dfs(int u, int c) {color[u] = c;for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];if (!color[j]) {if (!dfs(j, 3 - c)) return false;}else if (color[j] == c)	return false;}return true;
}int main() {memset(h, -1, sizeof h);int n, m;cin >> n >> m;while (m --) {int a, b;cin >> a >> b;add(a, b);add(b, a);}bool flag = true;for (int i = 1; i <= n; i ++) {if (!color[i]) {if (!dfs(i, 1)) {flag = false;break;}}}if (flag)	puts("Yes");else	puts("No");return 0;
}

二分图的最大匹配——匈牙利算法(详细证明请见《算法导论》)

匹配：在图论中，一个「匹配」是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替 路称为增广路（agumenting path）。

代码

输入格式

第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 510, M = 100010;int h[N], e[M], ne[M], idx;void add(int a, int b) {e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx ++;
}int match[N];
bool st[N];bool find(int x) {for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];if (!st[j]) {st[j] = true;if (!match[j] || find(match[j])) {match[j] = x;return true;}}}return false;
}int main() {memset(h, -1, sizeof h);int n1, n2, m;cin >> n1 >> n2 >> m;while (m --) {int a, b;cin >> a >> b;add(a, b);}int res = 0;for (int i = 1; i <= n1; i ++) {memset(st, 0, sizeof st);if (find(i))	res ++;}cout << res << endl;return 0;
}