算法简介

蝴蝶优化算法(butterfly optimization algorithm, BOA)是Arora 等人于2019年提出的一种元启发式智能算法。该算法受到了蝴蝶觅食和交配行为的启发，蝴蝶接收/感知并分析空气中的气味，以确定食物来源/交配伙伴的潜在方向。
蝴蝶利用它们的嗅觉、视觉、味觉、触觉和听觉来寻找食物和伴侣，这些感觉也有助于它们从一个地方迁徙到另一个地方，逃离捕食者并在合适的地方产卵。在所有感觉中，嗅觉是最重要的，它帮助蝴蝶寻找食物（通常是花蜜）。蝴蝶的嗅觉感受器分散在蝴蝶的身体部位，如触角、腿、触须等。这些感受器实际上是蝴蝶体表的神经细胞，被称为化学感受器。它引导蝴蝶寻找最佳的交配对象，以延续强大的遗传基因。雄性蝴蝶能够通过信息素识别雌性蝴蝶，信息素是雌性蝴蝶发出的气味分泌物，会引起特定的反应。
通过观察，发现蝴蝶对这些来源的位置有非常准确的判断。此外，它们可以辨识出不同的香味，并感知它们的强度。蝴蝶会产生与其适应度相关的某种强度的香味，即当蝴蝶从一个位置移动到另一个位置时，它的适应度会相应地变化。当蝴蝶感觉到另一只蝴蝶在这个区域散发出更多的香味时，就会去靠近，这个阶段被称为全局搜索。另外一种情况，当蝴蝶不能感知大于它自己的香味时，它会随机移动，这个阶段称为局部搜索。

香味

为了理解BOA中的香味是如何计算的，首先需要理解，像气味、声音、光、温度等这样的模态是如何计算的。感知、处理这些模态需要知道三个重要的术语：感觉模态C、刺激强度I和幂指数a。在感觉模态中，感觉意味着测量能量的形式并以类似方式对其进行处理，而模态是指传感器使用的原始输入。不同的形态可以是气味，声音，光线，温度，在BOA中，模态是香味。I是物理刺激的大小。在BOA中，I与蝴蝶/解决方案的适应度相关。这意味着，当一只蝴蝶散发出更多的香味时，周围的其他蝴蝶可以感知到并被吸引。幂是强度增加的指数。参数a允许正则表达式、线性响应和响应压缩。响应扩展是当I增加时，香味（f）比I增长更快。响应压缩是当I增加时，f比I增长慢。线性响应是当I增加时，f成比例地增加。经实验证明，有时随着刺激的增强，昆虫对刺激变化的敏感性变得越来越低。因此在BOA中，为了估计I的大小，使用了响应压缩。
蝴蝶的自然现象基于两个重要问题：I的变化和f的表示。简单地说，蝴蝶的I与编码后的目标函数相关联。但是，f是相对的，即应该由其他蝴蝶来感知。史蒂文斯幂定律中，为了将气味与其他形式区别开来，使用了C。现在，当I较少的蝴蝶向I较多的蝴蝶移动时，f比I增加得更快。因此，我们应该允许f随幂指数参数a实现的吸收程度而变化。在BOA中，香味被表示为刺激物的物理强度的函数，如下所示：
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其中f为香味的大小，即其他蝴蝶感知到的香味强度，c 为感官模态，在[0,1]之间取值；I 为刺激强度；a 为幂指数，在[0,1]之间取值。在一个极端情况下，a=1，意味着一只特定蝴蝶发出的香气量被其他蝴蝶以同样的能力感知到，这相当于说香味是在理想化的环境中传播的，在这个区域的任何地方都可以感觉到一只散发着香味的蝴蝶。因此，可以很容易地达到单个(通常是全局的)最优值。另一方面，如果a=0，这意味着任何一只蝴蝶散发出的香味都不会被其他蝴蝶感觉到。所以，参数a控制算法的行为。另一个重要参数是c，它也是决定BOA算法收敛速度和性能的关键参数。理论上c∈[0，∞]，但实际上是由待优化系统的特性决定的。A和c的取值对算法的收敛速度有重要影响。在最大化问题中，强度可以与目标函数成正比。

具体算法

为了用搜索算法演示上述讨论，将蝴蝶的上述特征理想化如下：
1.所有的蝴蝶都可以发出气味，这使蝴蝶间相互吸引。
2.每只蝴蝶都会随机移动或朝最好的蝴蝶移动，散发出更多的芳香。
3. 蝴蝶的刺激强度受目标函数的景观影响或决定。
该算法分为三个阶段：(1)初始化阶段、(2)迭代阶段和(3)结束阶段。
在BOA的每次运行中，首先执行初始化阶段，然后进行迭代搜索，最后在找到最优解时终止算法。BOA中使用的参数值也会被分配，设置这些值后，算法将继续创建初始蝴蝶种群以进行优化。由于在BOA的模拟过程中蝴蝶总数保持不变，分配了一个固定大小的内存来存储信息。蝴蝶的位置是在搜索空间中随机生成的，并计算和存储它们的香味和适应值。这样就完成了初始化阶段，算法开始了迭代阶段，该阶段使用创建的人工蝶形执行搜索。算法的第二阶段，即迭代阶段，由算法执行多次迭代。在每次迭代中，解空间中的所有蝶形都移到新位置，然后重新评估其适应性值。算法首先计算解空间中不同位置的所有蝴蝶的适应度值。那么这些蝴蝶就会利用式1在自己的位置产生香味。该算法有两个关键步骤，即全局搜索阶段和局部搜索阶段。在全局搜索阶段，蝴蝶向最合适的蝴蝶/解g∗迈出一步，该蝴蝶/解g可以用公式(2)来表示。
在这里插入图片描述
这里，g^∗表示在当前迭代的所有解中找到的当前最佳解；f_i表示第i只蝴蝶的香味，r是[0，1]中的随机数。局部搜索阶段可以表示为

其中，x_j^t和x_k^t是解空间中的第j个蝴蝶和第k个蝴蝶。
蝴蝶寻找食物、交配伙伴可以在局部和全局范围内发生。考虑到地理上的接近和各种其他因素，如雨、风等，在整个交配伙伴或蝴蝶的觅食活动中，寻找食物可能占很大比例。因此，在BOA中使用切换概率p来在普通全局搜索和密集局部搜索之间切换。
在未达到停止标准之前，一直进行迭代。迭代结束的标准可以有多个，如使用的最大CPU时间、达到的最大迭代次数、没有改进的最大迭代次数、达到错误率的特定值或任何其他适当的标准。当迭代阶段结束时，算法输出具有最佳适应度的最优解。