动态规划

动态规划就像是解决问题的一种策略，它可以帮助我们更高效地找到问题的解决方案。这个策略的核心思想就是将问题分解为一系列的小问题，并将每个小问题的解保存起来。这样，当我们需要解决原始问题的时候，我们就可以直接利用已经计算好的小问题的解，而不需要重复计算。

动态规划与数学归纳法思想上十分相似。

数学归纳法：

1. 基础步骤（base case）：首先证明命题在最小的基础情况下成立。通常这是一个较简单的情况，可以直接验证命题是否成立。

2. 归纳步骤（inductive step）：假设命题在某个情况下成立，然后证明在下一个情况下也成立。这个证明可以通过推理推断出结论或使用一些已知的规律来得到。

通过反复迭代归纳步骤，我们可以推导出命题在所有情况下成立的结论。

动态规划：

1. 状态表示：

2. 状态转移方程：

3. 初始化：

4. 填表顺序：

5. 返回值：

数学归纳法的基础步骤相当于动态规划中初始化步骤。

数学归纳法的归纳步骤相当于动态规划中推导状态转移方程。

动态规划的思想和数学归纳法思想类似。

在动态规划中，首先得到状态在最小的基础情况下的值，然后通过状态转移方程，得到下一个状态的值，反复迭代，最终得到我们期望的状态下的值。

接下来我们通过三道例题，深入理解动态规划思想，以及实现动态规划的具体步骤。

879. 盈利计划 - 力扣（LeetCode）

题目解析

状态表示

这个问题本质上是，

1. 挑选出一些工作作为一个集合，这个集合满足某些要求，解决某些问题。而背包问题就是挑选出一些物品作为一个集合，这个集合满足某些要求，解决某些问题。

2. 挑选出来的工作不可以无限选取，所以属于二维01背包问题。

背包问题的状态表示是，

定义dp[i][j]表示从前i个物品中挑选，总体积不超过j，所有选法中，所能达到的最大价值。

定义dp[i][j]表示从前i个物品中挑选，总体积恰好为j，所有选法中，所能达到的最大价值。

我们根据背包问题的状态表示，定义出该问题的状态表示。

因此我们可以定义，dp[i][j][k]表示，从前i个工作中挑选，总需人数不超过j，总利润不少于k，总盈利计划个数。

状态转移方程

状态转移方程通常都是根据最后一个位置的具体状况进行分类讨论。

1. 如果不选择第i个工作， 此时只能从前i-1个工作中挑选出集合，此时dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]。

2. 如果选择第i个工作， 此时第i个工作需要的人数为group[i-1]，产生的利润为profit[i-1]，本来总人数不能超过j，选取第i个工作后，总人数不能超过j-group[i-1]，本来总利润需要不少于k，选取第i个工作后，总利润需要不少于k-profit[i-1]，因此dp[i][j][k]=dp[i-1][j-group[i-1]][k-profit[i-1]]。表示在前i-1个工作中挑选集合的集合个数，每一个集合都加入第i个工作，此时的集合个数为dp[i][j][k]。此时还需要判断j-guoup[i-1],k-profit[i-1]是否小于0，的情况。小于0就越界了。

   1. 如果j-group[i-1]<0, 表示第i个工作需要的人数就大于了j，此时dp[i][j][k]=0。

   2. 如果j-group[i-1]>=0, 说明此时可以完成第i个工作，dp[i][j][k]=dp[i-1][j-group[i-1][k-profit[i-1]]，还需要考虑k-profit[i-1]的正负性。

      1. 如果k-profit[i-1]<0, 表示第i个工作产生的利润就可以满足最低需求利润，所以再从前面工作中挑选，不需要考虑它的利润条件，即产生的利润大于等于0即可。此时dp[i][j][k]=dp[i-1][j-group[i-1]][0]。

      2. 如果k-profit[i-1]>=0, 此时dp[i][j][k]=dp[i-1][j-group[i-1]][k-profit[i-1]]。

综上所述，将上述情况进行合并和简化，得到状态转移方程为，

        dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];if (j - group[i - 1] >= 0)dp[i][j][k] = (dp[i][j][k]+dp[i - 1][j - group[i - 1]][max(0, k - profit[i - 1])])%MOD;

MOD=1e9+7，因为题目说得到的数可能很大，需要对MOD取余，所以两个数每相加，就对MOD取余。

初始化

根据状态转移方程，我们知道，推导（i，j，k）位置的状态需要用到（i-1，j，k）位置的状态，if判断保证j-group[i-1]一定不会小于0，dp[i - 1][j - group[i - 1]][max(0, k - profit[i - 1])]，所以这个状态中只需要考虑（i-1）。所以我们需要初始化第一行，推导第一行的时候会发生越界的情况，此时没有前驱状态。

i==0，表示不选工作，人数不超过j，集合利润不少于k，集合个数，此时只有dp[0][j][0]=1,其他都为0。

故初始化为，

        for (int j = 0; j <= n; j++) {dp[0][j][0] = 1;}

填表顺序

根据状态转移方程，我们在推导（i，j，k）位置的状态时，需要用到（i-1，j，k）（i-1，j-group[i-1],k-profit[i-1]）位置的状态。这些状态不会越界，初始化保证了他们不会越界。

1. 固定i， i需要从小到大变化，当推导（i，j，k）位置状态时，（i-1，，）位置状态已经得到，所以j，k的变化可以从小到大，也可以从大到小。

2. 固定j， j的变化需要从小到大，又因为需要用到（i-1，j，k）位置的状态，所以i的变化需要从小到大，此时k的变化可以从小到大也可以从大到小。

3. 固定k， k的变化需要从小到大，又因为需要用到（i-1, j，k）位置的状态，所以i的变化需要从小到大，此时j的变化可以从小到大，也可以从大到小。

返回值

状态表示为dp[i][j][k]表示，从前i个工作中挑选，总需人数不超过j，总利润不少于k，总盈利计划个数。

结合题目意思，我们需要在前m个工作中挑选，总需人数不超过n，总利润不少于minProfit，总盈利计划个数。

返回dp[m][n][minProfit]

（m表示工作个数）

代码实现

class Solution {
public:int profitableSchemes(int n, int minProfit, vector<int>& group,vector<int>& profit) {int m = group.size();int MOD = 1e9 + 7;vector<vector<vector<int>>> dp(m + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(minProfit + 1)));for (int j = 0; j <= n; j++) {dp[0][j][0] = 1;}for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 0; j <= n; j++) {for (int k = 0; k <= minProfit; k++) {dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];if (j - group[i - 1] >= 0)dp[i][j][k] = (dp[i][j][k]+dp[i - 1][j - group[i - 1]][max(0, k - profit[i - 1])])%MOD;}}}return dp[m][n][minProfit];}
};

377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

题目解析

因此我们应该换一种思路，尝试正向解决这道问题。

在正向推导过程我们发现了重复子问题，求元素和为target一共有多少种排列方法数，等价于求元素和为target-第一个位置上的元素值，一共有多少种排列方法数，然后再考虑第一个位置上所有情况即可。

因此我们可以定义状态表示为dp[i]元素和为i的所有排列方法数。

状态表示

定义dp[i]元素和为i的所有排列方法数。

状态转移方程

1. 如果有排列，

   1. 第一个位置为nums[0], 此时dp[i]=dp[i-nums[0]]。

   2. 第一个位置为nums[1], 此时dp[i]=dp[i-nums[1]]。

   3. 第一个位置为nums[2], 此时dp[i]=dp[i-nums[2]]。

   4. .......

2. 如果没排列， dp[0]=1。

综上所述，状态转移方程为，dp[i]=dp[i-nums[0]]+dp[i-nums[1]]+..........

如果i-nums[0]<0，此时不存在。同时dp[0]=1。

            for(auto j:nums){if(j<=i){dp[i]+=dp[i-j];}}

初始化

根据状态转移方程，dp[i]+=，所以每个位置都需要初始化为0。而没有排列的时候，dp[0]=1。

填表顺序

根据状态转移方程，推导i位置状态需要用到i-j位置的状态，所以i的变化需要从小到大。

返回值

状态表示为，定义dp[i]元素和为i的所有排列方法数。

结合题目意思，我们需要返回dp[target]

代码实现

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<double>dp(target+1);dp[0]=1;for(int i=1;i<=target;i++){for(auto j:nums){if(j<=i){dp[i]+=dp[i-j];}}}return dp[target];}
};

96. 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）

题目解析

状态表示

定义dp[i]表示节点数为i，组成的二叉搜索树种类数。

状态转移方程

1. 当节点数至少为3时，假设j作为根节点。 此时左边是1~(j-1)，一共有（j-1）-1+1=j-1 个数， 右边是（j+1）~i，一共有i-（j+1）+1=i-j 个数，

     状态转移方程为，

   for(int j=1;j<=i;j++){dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];}

2. 当节点数为2时， dp[2]=2。

3. 当节点数为1时， dp[1]=1。

4. 当节点数为0时， dp[0]=1。此时表示没有节点，二叉搜索树的种类数，空也算是一种。表示左孩子为0时，种类数为右孩子种类数乘以1，或者右孩子为0时，种类数为左孩子种类数乘以1。

初始化

根据状态转移方程，dp[i]+=，所以每个状态先初始化为0。

填表顺序

根据状态转移方程，推导i位置状态时需要用到j-1，和i-j位置的状态，所以i的变化需要从小到大。

返回值

状态表示为，定义dp[i]表示节点数为i，组成的二叉搜索树种类数。

结合题目意思，我们需要返回dp[n]

代码实现

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int>dp(n+1);if(n==0||n==1) return 1;else if(n==2) return 2;dp[0]=1;dp[1]=1;dp[2]=2;for(int i=3;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];}}return dp[n];}
};

结尾

今天我们学习了动态规划的思想，动态规划思想和数学归纳法思想有一些类似，动态规划在模拟数学归纳法的过程，已知一个最简单的基础解，通过得到前项与后项的推导关系，由这个最简单的基础解，我们可以一步一步推导出我们希望得到的那个解，把我们得到的解依次存放在dp数组中，dp数组中对应的状态，就像是数列里面的每一项。最后感谢您阅读我的文章，对于动态规划系列，我会一直更新，如果您觉得内容有帮助，可以点赞加关注，以快速阅读最新文章。

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