Duffing系统的受迫次共振

本周自学了胡海岩《应用非线性动力学》的第四章，下面做个简单的总结，就当作笔记吧！

本文介绍Duffing系统在简谐激励下的受迫振动问题，先介绍激励频率远离派生系统固有频率时发生振动的可能性，再分别介绍亚谐共振和超谐共振。

1.次共振发生的可能性

1.1无阻尼系统

首先考察无阻尼Duffing在间歇激励下的受迫振动

其中等式左边第二项可以理解为自身的恢复力，第三项为非线性项，等式右边为外激励。

现在用谐波平衡法验证该系统有精确解

因此把此解代入上面方程，计算过程如下

由此可解出这种振动的振幅和频率

可以发现，派生系统固有频率大约是激励频率1/3时，发生了共振，这种共振我们称之为亚谐波共振。对这种现象的物理解释有多种，其中之一是：外激励激发出了系统自由振动的三次谐波，进而联带起系统的自由振动，并将其维持下去。

1.2阻尼系统

阻尼Duffing系统在简谐激励下的振动问题

相较无阻尼系统多了第二项阻尼项目，这里不再要求激励为小量，但任限制系统非线性阻尼比较弱

利用多尺度法研究解得一次近似，设

并且代入阻尼运动方程，比较 $\varepsilon$ 同次幂得到线性偏微分方程

此方程的解为

将其代入线性偏微分方程第二式得到

可以发现，由于阻尼运动方程的三次非线性项存在，造成了上面蓝线所画的项含有 $3\omega$ 和 $\omega -2\omega _{0}$ ，当 $3\omega \approx \omega _{0}$ 和 $\omega -2\omega _{0}=\omega _{0}$ 时诱发产生共振的永年项。我们把 $\omega _{0}\approx 3\omega$ 和 $3\omega _{0}=\omega$ 分别叫做3次超谐共振和1/3次亚谐共振。下面分别进行研究。

2.1/3 次亚谐共振

2.1一次近似解

为了在 $\omega _{0}\approx 3\omega$ 时研究亚谐共振，定义新的激励频率失调量σ ，使

写出消除永年项的条件，即指数有 $\omega _{0}$ 的项的系数相加为0

引入

将第一式代入消除永年项的条件，分离实虚部后代入第二式得到得到 1/3 次亚谐共振的慢时变幅值和相位满足的自治微分方程

2.2定常解及存在条件

令上面的幅值和相位满足的自治微分方程中 $D_{1}a=0,D_{1}\varphi =0$ ,得到幅值和相位满足的代数方程

消去相位 $\varphi$ ，

得到得到 1/3 次亚谐共振的幅频响应方程

可用MATLAB求出次二次方程的根

其中

由于Q>0,因此取正解的条件是P>0且 $P^{2}>Q$ ,由此得到 1/3 次亚谐共振的必要条件

这说明对于刚度硬化的 Duffing 系统，1/3 次亚谐共振发生在激励频率 $\omega$ 略高于 $3\omega _{0}$ 的频段上。第二个不等式表明增加阻尼可破坏 1/3 次亚谐共振。

视式的 $B^{2}$ 为未知量，解二次不等式得

不难证明，上式中第二个不等式覆盖了第一个，从而成为 1/3 次亚谐共振的存在性条件。该条件还可用原外激励参数表示为

图1给出了两种阻尼时产生1/3次亚谐共振时激励幅值F和激励频率ω 的关系。显然，随着系统阻尼的增加，发生共振的区域缩小。图2是给定激励幅值下对应上述两种阻尼的幅频响应曲线。

图1 1/3 次亚谐共振的激励条件图2 1/3 次亚谐共振的幅频响应

（ $\omega _{0}=1$ ， $\varepsilon =0.5$ ）（ $F=10$ , $\omega _{0}=1$ ， $\varepsilon =0.5$ ）

4.3 定常解的稳定性

类似于对主共振定常解的稳定性分析，将1/3 次亚谐共振的慢时变幅值和相位满足的自治微分方程处关于小扰动 ∆a 和 ∆ϕ 局部线性化

该方程对应的特征方程为

可将特征方程简化为

鉴于µ > 0和平衡点结论，1/3 次亚谐共振渐近稳定的充分必要条件是γ > 0，亦即条件

这表明，方程两个解支中，幅值大的一支渐近稳定，小的一支不稳定。这正如图3所示。

图3（1/3 次亚谐共振的多解现象）

图中P1和P2是两个奇点，对应于某一激励频率下频响曲线上、下解支上的点，即原系统的两种稳态运动。显然P1是焦点，而P2是鞍点。自阴影区任一初始状态出发，系统状态将最终被吸引到P1，形成稳态1/3次亚谐共振,频响曲线的上解支是渐近稳定的。只有恰好位于两区域分界线上的初始状态才可能被吸引到P2 ，一旦受到偏离分界线的小扰动，其状态就会被吸引到P1。所以频响曲线的下解支是不稳定的。