随机过程及应用学习笔记（一）概率论（概要）

概率是随机的基础，在【概率论（概要）】这个部分中仅记录学习随机过程及应用的基本定义和结果。

前言

首先，概率论研究的基础是概率空间。概率空间由一个样本空间和一个概率测度组成，样本空间包含了所有可能的结果，而概率测度则描述了每个结果发生的可能性大小。研究者通过定义适当的概率测度，可以更准确地描述各种随机现象的发生概率。

一、概率空间 (Ω,F,P)

Sample space 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记为 Ω。（注：每个结果需要互斥，所有可能结果必须被穷举）

Set of events 事件集合，是Ω的一些子集构成的集合，记为 F，并且它需要满足以下三点特性（也就是必须是δ－field）

Probability measure 概率测度（或概率），描述一次随机试验中被包含在F 中的所有事件的可能性，记为P。

样本点(Sample point)：随机试验E的每一个最简单的试验结果，记为 $\omega$ 。
样本空间( Sample space)：全体样本点构成的集合，称为样本空间Ω
事件(Event):

样本空间的子集组成的集类F，称为随机事件体（域)。
随机事件体F的任意元素A称为随机事件。

样本空间o和F的二元体(Ω,F)称为可测空间。
概率(Probability)：每个事件一个可能性的度量值。

1、随机试验

定义：如果一个实验E，满足下列条件：

在相同的条件下可以重复进行；
每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有结果；
一次试验结束之前，不能确定哪一个结果会出现。

称此试验为随机试验。随机试验（Experiment）：结果无法预先确定的试验。随机试验的结果，称为事件。

2、集论初步

在概率论中，事件和事件的集合起主要作用。
事件的数学理论和集论有密切关系，用集论描述随机过程的事件。

把为了某种目的而研究的对象全体称为集合，简称为集。有某些特定性质的对象的全体，每一个属于这种集的对象,称为集元素。集合用大写字母A、B、C、…表示，元素用小写字母a、b、c、e、w、…表示，一些集组成的集叫类，我们用草写字母表示。

不包含任何元素的集合称为空集 $\varnothing$
包含所研究问题的全体对象，即:包含所考虑的所有集的所有元素的“最大”集合，称为空间Ω

集合的运算：

3、样本空间、随机事件体

随机试验E的每一个最简单的试验结果，称为样本点，记为 $\omega$ 。全体样本点构成的集合，称为样本空间，记为Ω。

集合论和概率论的专业术语对应关系如下表所示：

4、概率与概率空间

概率的性质与基本公式：

（6）连续性

5、条件概率

6、乘法公式事件的独立性

随机事件的独立性：

7、全概率公式与贝叶斯公式

二、随机变量及其分布

1、随机变量

2、分布函数

3、离散型随机变量及其分布律

4、连续型随机变量

5、常见的随机变量及其分布

两点分布

两点分布（也称为伯努利分布）是概率论中一种离散概率分布，描述了一个随机变量取两个可能值之一的情况。这两个可能的取值通常被标记为0和1，或者成功和失败。该分布得名的原因是它只涉及到两个点。

两点分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：

其中，p 是成功的概率，1−p 是失败的概率。这样的分布通常用于描述一次伯努利试验的结果，其中只有两个可能的结果。

两点分布的期望值（均值）和方差分别为：

E(X)=p
Var(X)=p(1−p)

其中，X 是随机变量，p 是成功的概率。

二项分布

二项分布（Binomial Distribution）是概率论中一种离散概率分布，描述了在进行一系列独立的伯努利试验中成功的次数。每次试验只有两种可能的结果，通常称为成功（success）和失败（failure）。

假设进行了 n 次独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1−p。随机变量 �X 表示成功的次数，则 X 的概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）为：

其中，(kn) 表示组合数，即从 n 次试验中选择 k 次成功的组合数。

二项分布的期望值（均值）和方差分别为：

E(X)=np

Var(X)=np(1−p)

这表明在进行多次独立的伯努利试验时，成功的次数的期望值等于每次试验成功的概率乘以试验次数，方差等于期望值乘以失败的概率。

二项分布在概率论和统计学中广泛应用，特别是在描述二元事件的发生次数的情况下，如硬币抛掷、医学研究中的治疗效果、制造业的质检等。

均匀分布

在二维均匀分布中，随机变量(X,Y) 在一个矩形区域内均匀分布。概率密度函数为：

其中，区域的面积决定了概率密度的大小。

均匀分布具有简单且直观的性质，适用于许多实际问题的建模，例如在一定范围内的随机实验或随机变量。均匀分布在统计学、概率论、模拟和随机过程等领域中经常被使用。

高斯分布

高斯分布，也被称为正态分布（Normal Distribution），是概率论和统计学中最为重要的分布之一。它具有许多重要的性质，对于自然界中的许多现象和实验结果都有很好的描述。

高斯分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）为：

其中，x 是随机变量的取值，μ 是均值（期望值），σ 是标准差。这个分布的图像呈钟形，关于均值对称。

高斯分布的期望值（均值）为 μ，方差为 2σ2。标准差 σ 控制了曲线的宽度，曲线越宽表示数据越分散。

高斯分布在自然界中的许多现象中都能够找到，比如测量误差、身高分布、温度分布等。中心极限定理表明，当独立随机变量的和足够多时，它们的分布趋向于高斯分布。这使得高斯分布在统计学和概率论中被广泛应用，特别是在推断统计、假设检验和机器学习等领域。

三、随机变量的数字特征

1、数字期望

2、方差

3、矩、协方差

4、随机变量数字特征的性质

四、条件数学期望

五、特征函数

1、定义与性质

一般而言，对于随机变量X的分布，大家习惯用概率密度函数来描述，虽然概率密度函数理解起来很直观，但是确实随机变量的分布还有另外的描述方式，比如特征函数。

特征函数的本质是概率密度函数的泰勒展开
每一个级数表示原始概率密度函数的一个特征
如果两个分布的所有特征都相同，那我们就认为这是两个相同的分布
矩是描述概率分布的重要特征，期望、方差等概念都是矩的特殊形态

随机变量X的特征函数：

其中，i是虚数单位，t是任意实数，E[⋅]表示期望。

性质：

存在性： 对于任何随机变量X，它的特征函数总是存在的。
唯一性： 不同的随机变量可能具有相同的特征函数，但如果两个随机变量的特征函数在某个范围内相等，则它们在分布上相同。
特征函数与分布的关系： 如果两个随机变量具有相同的特征函数，则它们具有相同的分布。
特征函数的对称性： 如果X是一个实随机变量，其特征函数为φ(t)，则对于任意实数t，有 ϕ(−t)=ϕ(t)，其中ϕ(t)表示φ(t)的共轭复数。
特征函数的加法性： 如果X和Y是相互独立的随机变量，它们的特征函数分别为φX(t)和φY(t)，那么它们的和Z = X + Y 的特征函数为 ϕZ(t)=ϕX(t)⋅ϕY(t)。
中心极限定理： 如果X1, X2, ..., Xn是独立同分布的随机变量，具有相同的期望μ和方差σ^2，则它们的和标准化后的特征函数在n趋于无穷大时趋近于正态分布的特征函数。

特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用，它提供了一种便捷的方式来研究随机变量的性质和相互关系。

针对概率密度函数为f ( x )的连续随机变量X，特征函数写作：

2、多维随机变量的特征函数

存在性： 对于任何多维随机变量 X，其特征函数总是存在的。
唯一性： 不同的随机变量可能具有相同的特征函数，但如果两个随机变量的特征函数在某个范围内相等，则它们在分布上相同。
特征函数与分布的关系： 如果两个多维随机变量具有相同的特征函数，则它们具有相同的分布。
特征函数的对称性： 如果多维随机变量 X 的特征函数为ϕX(t)，则对于任意实数向量 t，有 ϕX(−t)=ϕX(t)，其中 ϕX(t) 表示特征函数的共轭复数。
多维随机变量的独立性： 如果多维随机变量 X 和 Y 是相互独立的，它们的特征函数分别为 ϕX(t) 和 ϕY(t)，那么它们的组合 Z=X+Y 的特征函数为 ϕZ(t)=ϕX(t)⋅ϕY(t)。