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力扣递归算法题
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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的
我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析
2、算法原理思路讲解
3、代码实现
环形子数组的最大和
题目链接：环形子数组的最大和
题目
给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。
环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。
子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], ..., nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。
示例 1：
输入：nums = [1,-2,3,-2] 输出：3 解释：从子数组 [3] 得到最大和 3
示例 2：
输入：nums = [5,-3,5] 输出：10 解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10
示例 3：
输入：nums = [3,-2,2,-3] 输出：3 解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3
提示：
n == nums.length1 <= n <= 3 * 104-3 * 104 <= nums[i] <= 3 * 104
解法
算法原理讲解
- 结果在数组的内部，包括整个数组。
- 结果在数组首尾相连的⼀部分上。
- 如果首尾相连的位置是最大的子数组和，那么中间会空出一部分来。
- 因为数组的总和 sum 是不变的，所以中间空出来的一部分必定是最小的子数组和。
对于第⼆种情况的最大和，应该等于 sum - gmin ，其中 gmin 表示数组内的「最小子数组和」。
两种情况的最大值就是我们最后要的结果。
我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤
- 状态显示
- 状态转移方程
- 初始化（防止填表时不越界）
- 填表顺序
- 返回值
- 状态显示
f[i] 表示： 以 i 位置元素为结尾的「所有子数组」中和的最大和。
g[i] 表示： 以 i 位置元素为结尾的「所有子数组」中和的最小和。
- 状态转移方程
f[i] 的所有可能可以分为以下两种：
- 子数组的长度为 1 ：此时 f[i] = nums[i] ；
- 子数组的长度大于 1 ：此时 f[i] 应该等于 以 i - 1 做结尾的「所有⼦数组」中和的最大值再加上 nums[i] ，也就是 f[i - 1] + nums[i] 。
由于我们要的是「最大值」，因此应该是两种情况下的最大值，因此可得转移方程： f[i] = max(nums[i], f[i - 1] + nums[i]) 。
同理可得，我们可以得出 f[i] 和 g[i] 的状态转移方程
- f[i] = max(nums[i], f[i - 1] + nums[i]) 。
- g[i] = min(nums[i], g[i - 1] + nums[i]) 。
- 初始化（防止填表时不越界）
最前面加上⼀个格子，并且让 f[0] = 0 和 g[0] = 0 即可。
- 填表顺序
根据「状态转移方程」易得，填表顺序为「从左往右」。
- 返回值
- 先找到 f 表里面的最大值 -> fmax ；
- 找到 g 表里面的最小值 -> gmin ；
- 统计所有元素的和 -> sum ；
代码实现
class Solution {
public:int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {int n = nums.size();int sum = 0; // 整个数组的和vector<int> f(n+1); // 以i为结尾，最大的子数组和vector<int> g(n+1); // 以i为结尾，最小的子数组和int fmax = INT_MIN, gmin = INT_MAX;// 初始化f[0] = 0;g[0] = 0;// 填表for (int i = 1; i <= n; i++){f[i] = max(nums[i-1], nums[i-1] + f[i - 1]);g[i] = min(nums[i-1], nums[i-1] + g[i - 1]);fmax = max(fmax, f[i]);gmin = min(gmin, g[i]);sum += nums[i-1];}return sum == gmin ? fmax : max(fmax, sum - gmin);}
};
