问题重述:
背景：蜜蜂对人类在地球上的生存具有极其重要的作用。除去蜂蜜生产，
蜜蜂还可以通过传粉为我们间接提供食物。自 2007 年以来，由于病毒、杀
虫剂、捕食者和栖息地破坏等因素，世界各地蜜蜂数量显著下降。本文建立
在以下基础条件内： 1. 蜜蜂可飞行 20km ，但始终停留在以蜂巢为圆心，半
径 6km 的范围内。 2. 一个蜂箱内包含约 5 万只蜜蜂。 3. 一只蜜蜂每天可采
约 2000 朵花。 4. 蜜蜂在夏季寿命较短约为 27 天，春秋季节约为 45 天，冬
季约为 175 天。本文选择意大利蜜蜂作为主要研究对象。
问题提出
一、构建一个模型来确定一段时间内蜜蜂的数量 .
二、对模型进行敏感性分析，确定对种群数量影响最大的因素 .
三、建立模型预测对于一个 20 英里的土地需要多少蜂箱来支持 .
四、创建一个博客 .
问题分析
第一题
在这一问中，我们需要对蜜蜂数量进行建模分析。我们认为这项工作主要
考虑出生率、被捕食率、病死率和栖息地被破坏致死率（下方简称为破坏致
死）对蜜蜂种群数量的影响。在有限实验场地内，其余理想情况下，其余生
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物群体对蜜蜂群体无明显影响，存在环境容纳量。用 Logistic 模型建立常微
分方程的方法求解。
第二题
这一问中需要分析不同因素对蜂群数量的影响强弱来找出都会蜂群数
量影响最大的因素。根据查阅到的资料和分析过后，我们认为应该使用
Variance-based methods 将输入和输出的不确定性以概率分布的形式进行
量化，并将输出方差分解为可归属于输入变量和变量组合的部分，通过方差
量来度量输出对输入变量的敏感性（当 Prob>F 值 <0.01 时视为敏感性极
高， F 值过大则舍弃）。从而筛选出影响最大的因素。
第三题
这一问中需要建立实际数学模型，在 20 英亩土地上设置足够的蜂箱
来保证植物授粉工作。可以通过设定单只蜜蜂采花数量，根据第一问得
出的蜂群数量的平均值进行几何分析得出。在本题中，蜜蜂的移动范围
S = ∗ 6000 2 = 113097335 m 2 >> 81000 m 2 ，可以视为在一天内将花授粉
完毕。经查阅资料得，油菜花主要在春天开花，生长范围广且蜜蜂常采油菜
花花蜜，因此可以作为实验假设。
问题假设
1. 在实验中研究蜜蜂均为意大利蜜蜂。
2. 一个理想蜂箱内有约 20000 只蜜蜂。
3. 蜜蜂始终停留在以蜂巢为圆心，半径 6km 的范围内。
4. 一只蜜蜂每天可采约 2000 朵花。
5. 蜜蜂在夏季寿命较短约为 27 天，春秋季节约为 45 天，冬季约为 175 天。
6. 蜜蜂初始数量视为 20000 只。
7. 春秋季自然增长率相同，均为正值。夏季自然增长率为正值且大于春秋
季。冬季自然增长率为负值。
8. 取环境容纳量与蜂箱最大容纳量相同，为 80000 只。 3
符号说明
符号
符号说明
b 出生率
d 死亡率
r 自然增长率
Pmax 环境容纳量
P0 蜂群初始数量
t 时间
e 2.718281828
Q 自然死亡率
f 病死率
g 被捕食率
j 栖息地被破坏致死率
h 自然死亡率
x 蜂箱数目
题目分析及解答
第一题
在本题中，我们主要考虑实验蜜蜂全部为意大利蜜蜂，环境位于模拟自然
环境 ( 封闭 ) 下、实验时间为一年的条件下，主要考虑环境变化对出生率、死亡
率对实验蜂群数量造成的影响。为方便起见，假设自然死亡率为常数 Q=0.12 ，
视为一个蜂箱。查阅资料得，出生率大致符合下方函数：
b = 0 . 005 ∗ ( − t 2 +14 ∗
t + 110) 死亡率大致符合下方函数： d = 0 . 005 ∗ t 2 ∗ 0 . 064 ∗ t + 0 . 62 。根据 Lo
gistic 模型建立方程如下：
P = ( Pmax ∗ P 0)/( P 0+( Pmax − P 0) ∗ ( e ( − r ∗ t ))) .
第二题
在第一题中所列举的方程中，病死率、被捕食率和栖息地被破坏等因素主
要影响蜜蜂种群的死亡率，三者与出生率都对蜂群数量变化有影响。所以在
本题中分析以上四个因素对蜜蜂种群数量的敏感性。
在本题中，我们在第一题中列举的四者的方程基础上分别构建了病死率、被
捕食率、栖息地被破坏导致的致死率和出生率四者的方差模型，分别取 +0.5 4
和 -0.5 时的图像进行对比计算，得到各自方差量（表 1 表 2 表 3 表 4 ），对
比得出在四者中的敏感性最高。
根据以上图表分析可得被捕食率的 F 值过大，实验精度不够精确应舍
弃。其余三项中破坏致死率的 Prob>F 值最小且小于 0.01 ，可以认为其是
敏感度最高的因素。 5
第三题
在本题中，我们假设在试验场地内大面积种植油菜花。经查阅资料得油菜
花种植一般为株距 6 公分，行距 50 公分 , 一个标准意大利蜜蜂蜂箱的长宽
高分别为 500mm 、 380mm 、 280mm. 占地面积大约为 0.19 平方米。经估算
得一平方米约 30 株油菜花，在不考虑蜜蜂重复采蜜的情况下，可以将该问
题转化为一个简单的几何问题。默认一只蜜蜂一天可以采 2000 朵花、一个
蜂箱内取中值有 50000 只蜜蜂（假设全部为工蜂）其中半数蜜蜂约 25000
只执行采蜜工作，一株油菜花上有 17 朵花，每朵花被采 3 次可授粉成功，
蜜蜂以蜂箱为圆心，呈圆形向外辐射式执行采蜜工作。由于模型较为理想，
我们只考虑所需蜂箱的最小值。
在这里将 20 英亩土地的形状分为两种特殊情况，一种简化为圆形，另一种
简化为正方形。
在圆形模型中，问题简化为求覆盖半径为 160.57m 的圆所需半径为
105.13m 的圆最少个数。在保证所有原重合范围最小的前提下，经建模分
析可得，最少需要 5 个小圆才能完全覆盖掉大圆（如图5所示），即最少需要
5 个蜂箱能够满足条件。在方形模型中，问题简化为求覆盖边长为 284.6m
的正方形所需半径为 m 的圆最少个数。在保证完全覆盖的前提下，经建模
分析可得，最少需要4个小圆才能完全覆盖掉大正方形（如图 6 所示），即最
少需要个蜂箱能够满足条件。
