【考研】高等数学总结

文章目录

第一章极限函数连续
- 1.1 极限存在准则及两个重要极限
- - 1.1.1 夹逼定理
  - - 1.1.1.1 数列夹逼定理
    - 1.1.1.2函数夹逼定理
  - 1.1.2 两个重要极限
  - - 1.1.2.1 极限公式1
    - - 1.1.2.1.1 证明
      - 1.1.2.1.2 数列的单调有界收敛准则
      - 1.1.2.1.2.1 二项式定理
        1.1.2.1.2.2 证明
    - 1.1.2.2 极限公式2
    - - 1.1.2.2.1 证明（与1.2.1.2数列单调有界收敛准则对应）
- 1.2 无穷大与无穷小
- - 1.2.1 概念
  - - 1.2.1.1 无穷小的概念
    - 1.2.1.2 无穷大的概念
    - 1.2.1.3 无穷小阶的概念

这样记没任何用处，还很浪费时间，但是这样删了太可惜了，反正没人看，就随便发发，不完整的

第一章极限函数连续

1.1 极限存在准则及两个重要极限

1.1.1 夹逼定理

1.1.1.1 数列夹逼定理

如果数列 ${X_n\}$ , ${Y_n\}$ 及 ${Z_n\}$ 满足下列条件：
(1)当 $n>N_0$ 时，其中 $N_0\in N^*$ ,有 $Y_n\leq X_n\leq Z_n$ .
(2) ${Y_n\}$ 、 ${Z_n\}$ 有相同的极限 $a$ ,设 $-\infty<a<+\infty$ , 则，数列 ${X_n\}$ 的极限存在，且 $\lim_{n\to\infty}X_n=a$ .

证明：因为 $\lim_{n\to\infty}Y_n=a$ , $\lim_{n\to\infty}Z_n=a$ ,所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ,存在正整数 $N_1$ 、 $N_2$ ,当 $n>N_1$ 时，有 $|Y_n-a|<\varepsilon$ ,当 $n>N_2$ 时，有 $|Z_n-a|<\varepsilon$ ,取 $n=max\left\{N_0,N_1,N_2\right\}$ ,则当 $n > N$ 时， $|Y_n-a|<\varepsilon$ 、 $|Z_n-a|<\varepsilon$ 同时成立，且 $Y_n\leq X_n\leq Z_n$ ,即 $a-\varepsilon<Y_n<a+\varepsilon$ , $a-\varepsilon<Z_n<a+\varepsilon$ ,又因为 $a-\varepsilon<Y_n\leq X_n\leq Z_n<a+\varepsilon$ ,即 $|X_n-a|<\varepsilon$ 成立。也就是说 $\lim_{n\to\infty}X_n=a_n$

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1.1.1.2函数夹逼定理

$f (x)$ 与 $g (x)$ 在xO处连续且存在相同的极限A，即 $x\to x$ O时，lim f(x)=lim $g(x)=\mathbb{A}$ ,则若有函数K(x)在x0 的某邻域内(如 $x0\in(x1,x2)$ ),恒有f(x)sk(x)sg(x),则当X趋近x0时，有lim f(x)slim k(x)slim g(x), 即Aslim k(x)sA
故lim k(x)=A。
简单地说：函数A>B,函数B>C,函数A的极限是X，函数C的极限也是X ,那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。

1.1.2 两个重要极限

1.1.2.1 极限公式1

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$
$\frac00 这样的函数形式求极限$

1.1.2.1.1 证明

在这里插入图片描述
在该圆里，半径为1，OC为X，AC为Y，
则sinθ=y/r=y，tanθ=Y/X=BD/OB=BD，弧AB的长=θ * 2πr/360 =θ * 2π/360 =θ
扇形的面积公式为lr/2=θ

1.S△OBD＞S扇OAB＞S△OAB=tanθ/2>θ/2>sinθ/2
2.tanθ > θ > sinθ = tanθ/sinθ > θ/sinθ > 1 = 1/cosθ>θ / sinθ > 1，在θ趋于0时cossθ的极限值为1，因此1/cosθ极限值为1，根据夹逼定理θ / sinθ的极限值为1。

1.1.2.1.2 数列的单调有界收敛准则

1.1.2.1.2.1 二项式定理

1.二项式定理的内容
$(a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n}$
右边多项式叫(a+b)^n的二项展开式；
2.二项式系数 $C_n^0,C_n^1,C_n^2,...C_n^r,...C_n^n$
3,二项展开式的通项 $T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$
(b+a)^n, (a-b)^n的通项则分别为： $T_{k+1}=C_{n}^{k}b^{n-k}a^{k};T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}\left(-b\right)^{k}$
4.在定理中，令 $a = 1, b = x$ ,则
$\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\cdots+C_n^rx^r+\cdots+C_n^nx^n$

1.1.2.1.2.2 证明

$\text{证明 }a_n=(1+\frac1n)^n\text{ 收敛}.$

$\begin{aligned} &&& \text{证明}a_n=(1+\frac1n)^n\text{ 收敛}. \\ &&& \text{证}\quad a_n=1+1+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot\frac1{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac1{n^k} \\ &&&+\cdots+\frac{n(n-1)\cdots2\cdot1}{n!}\cdot\frac1{n^n} \\ &&&=1+1+\frac1{2!}{\left(1-\frac1n\right)}+\cdots+\frac1{k!}{\left(1-\frac1n\right)}{\left(1-\frac2n\right)}\cdots{\left(1-\frac{k-1}n\right)} \\ &&&+\cdots+\frac1{n!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}n\right) \\ &&&\therefore a_n<a_{n+1},\quad a_n\text{ 单调增}. \end{aligned}$
$\begin{aligned} &又a_{n}&& <1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{k!}+\cdots+\frac1{n!} \\ &&&<1+1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac1{2^n}}{1-\frac12}<1+\frac1{1-\frac12}=3\\ &\therefore a{有界}. \\ &\text{记作}\boxed{\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n=e}\text{0<e<3}\ \end{aligned}$

1.1.2.2 极限公式2

$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
变式

$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e$

1.1.2.2.1 证明（与1.2.1.2数列单调有界收敛准则对应）

证明：首先证明此极限存在
构造数列 $x_n=\left(1+\frac1n\right)^n$

$\begin{aligned} x_{n}& =1+C_n^1\frac1n+C_n^2\frac1{n^2}+C_n^3\frac1{n^3}+\ldots+C_n^n\frac1{n^n} \\ &=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\cdot\frac1{n^3}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdotp\cdotp\cdotp1}{n!}\cdot\frac1{n^n} \\ &=1+1+\frac1{2!}\cdot\left(1-\frac1n\right)+\frac1{3!}\cdot\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots+\frac1{n!}\cdot\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right) \\ \cdots\left(1-\right.& \left.\frac{n-1}n\right) \\ &<2+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{n!} \\ &<2+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots++\frac1{2^{n-1}} \\ &=3-\frac1{2^{n-1}} \\ &\text{<3} \end{aligned}$
而对于n+1

$\begin{aligned} x_{n+1}& =\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1} \\ &=1+1+\frac1{2!}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)+\frac1{3!}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)\left(1-\frac2{n+1}\right)+\cdots+ \\ &\frac1{n!}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)\left(1-\frac2{n+1}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)+ \\ &\frac1{(n+1)!}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)\left(1-\frac2{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\left(1-\frac n{n+1}\right) \\ &\text{>}x_{n} \end{aligned}$

由单调有界数列必有极限可知，数列 $x_n=\left(1+\frac1n\right)^n$ 的极限一定存在。记此极限为 $e$
对于实数 $x$ ,则总存在整数 $n$ ,使得 $n\leqslant x\leqslant n+1$

$\text{则有}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1{n+1}\right)}=\frac{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)}$

$=\frac e{1+0}=e$

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1n\right)^n\left(1+\frac1n\right)\right)$

$\begin{aligned} &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right) \\ &=e\cdot(1+0) \\ &=e \end{aligned}$
根据两边夹定理，函数 $f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$ 的极限存在，为e

1.2 无穷大与无穷小

1.2.1 概念

1.2.1.1 无穷小的概念

$\begin{aligned}&\text{若}\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=0,\text{则称}f\left(x\right)\text{为}x\to x_0\text{时的无穷小量}\left(\text{或无穷小}\right).\\&\text{记作 }\alpha(x),\beta(x)\text{等}.\end{aligned}$
定理1： $\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)$
定理2：

有限个无穷小的和为无穷小
有限个无穷小的积为无穷小
无穷小与有界函数的积仍为无穷小

1.2.1.2 无穷大的概念

设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 某去心邻域 $\mathring{U}(x_{0})$ 有定义， $\forall >0,\exists\delta>0$ ,当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时， $∣ f (x) ∣ > M .$ 则称 $f (x)$ 为 $x\to x_0$ 时的
无穷大量(或无穷大).
记作 lim $x\to x_{0}$ $f(x)=\infty$
定理：

无穷大的积仍为无穷大
无穷大的和不一定为无穷大

1.2.1.3 无穷小阶的概念

定义3 (无穷小的阶) 设 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是自变量 x 在同一变化趋势下的两个无穷小，且 $\beta(x)\neq0$

(1) 若lim $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$ ,则称 $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的高阶无穷小，记作 $\alpha(x)=o\left[\beta(x)\right]$
(2) 若 lim $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\neq0$ ,则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 为同阶无穷小；
(3)若 lim $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$ ,则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 为等价无穷小，记作 $\alpha(x)\sim\beta(x);$ (3)若lim .
(4)若 $\lim_{[0,0,1]}\frac{\alpha(x)}{(x-)^k}=C\neq0,\quad(k>0)$ ,则称 $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的 $k$ 阶无穷小.