红黑树
- 引言
- 红黑树的介绍
- 实现
- 结点类
- insert
- 搜索插入位置
- 插入
- 调整
- 当parent为gparent的左子结点
- 当parent为gparent的右子结点
- 参考源码
- 测试红黑树是否合格
- 总结
引言
在上一篇文章中我们认识了高度平衡的平衡二叉树AVL树：戳我看AVL树详解哦
（关于旋转调整的部分，在AVL树的时候已经详细介绍过了，如果大家对旋转调平衡的部分有疑惑的话，请移步至AVL树的详解）
由于AVL树的高度平衡，其平均搜索时间复杂度几乎可以达到严格的O(logN)。同样也因为平衡的程度很高，在维护平衡上时间的花费对于搜索上时间的提升是得不偿失的。
大多数情况下，我们并不需要很高的平衡程度，只需要达成一种接近平衡的状态，搜索的平均时间复杂度基本达到O(logN)即可。 红黑树就是这样的一种结构，它的最高子树的高度小于等于最低子树的二倍。通过减少调平衡时的时间成本来提高效率：
红黑树的介绍
红黑树是平衡二叉树的一种，他在满足二叉搜索树特性的基础上，给每个结点增加了一个颜色属性，包括Red与Black；并要求从根节点到一个叶子结点形成的任意一条路径中，通过对结点颜色的限制规则，没有任何一条路径回比其他的路径长一倍：
（红黑圣诞树）
对于红黑树结点颜色的限制规则如下：
- 每个结点的颜色只有红色或黑色两种；
- 根结点的颜色一定是黑色的；
- 如果某一个结点的颜色是红色的，它的两个孩子结点的颜色一定是黑色（即不存在两个连续的红色结点）；
- 对于任一结点，到叶子结点的任一路径上，包含的黑色结点的数量一定相等；
- 叶子结点一定是黑色的（这里的叶子结点直最后的
nullptr）
当满足上面的所有规则时，根节点到叶子结点的任一路径就都不可能比其他路径长一倍。由于不存在连续的红色结点，所以当黑色结点的数量 n 一定时，最长路径的长度为2 * n，最短路径的长度为 n ，所以不可能相差一倍以上。这样就达成了一种相对平衡的状态，并不需要经常去旋转调平了。
实现
红黑树的实现，在之前的二叉搜索树上增加了结点的颜色，以及对于结点的颜色调整的部分；
在本篇文章中依旧实现 K-V的模式 的树， 并且以非递归实现insert；
为防止命名冲突，将实现放在我们的命名空间qqq中：
结点的颜色我们使用 枚举常量enum Color 来表示；
RBTree是一个类模板，有两个模板参数，即K与V，表示其中存储的索引类型与值类型；
成员变量类型为Node*（由结点类RBTreeNode重命名），表示根结点的指针：
//基本的代码结构
namespace qqq
{enum Color //枚举常量表示颜色{RED,BLUCK};template<class K, class V>struct RBTreeNode //结点类{};template<class K, class V>class RBTree //红黑树{typedef RBTreeNode<K, V> Node;public:bool insert(const pair<K, V>& kv){}protected:Node* _root = nullptr;};
}
结点类
首先，对红黑树的结点进行实现：
RBTreeNode是也一个类模板， 两个模板参数同样为K与V，表示索引与值的类型；
在结点中储存数据的结构为pair，其中first为K类型，second为V类型；
成员变量包括结点中的数据 _kv；
指向父亲结点的指针 _parent；
指向左右孩子结点的指针 _left 与 _right；
表示结点颜色的枚举常量 _col：
template<class K, class V>
struct RBTreeNode //结点类
{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _parent;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;Color _col;
};
结点类的构造函数
我们需要实现一个默认构造函数：
参数类型为const pair<K, V>，缺省值为一个pair<K, V>的匿名对象；
对于父子结点的指针，在初始化列表中初始化为nullptr即可；
对于结点的颜色，在初始化列表中初始化为RED（要保证每条路上黑色结点的个数相等，就必须初始化为红色）：
RBTreeNode(const pair<K, V> kv = pair<K, V>()): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _col(RED){}
insert
红黑树的insert分为两个部分，即搜索并插入以及调整使其满足红黑树的性质：
搜索插入位置
- 与二叉搜索树类似，搜索并插入时，首先用要插入的
pair对象创建一个新结点newnode； - 与此同时，使用结点指针
cur来记录当前位置 ，parent来记录cur的父结点，便于后面插入； - 然后
while循环向下查找 插入的位置：当newnode小于cur的元素时，向左查找，当newnode大于cur的元素时，向右查找，相等时即该元素已经存在，返回false； - 当
cur为nullptr时，表示找到了插入的位置，循环终止：
// 部分代码：搜索插入位置 //
Node* newnode = new Node(kv);
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;while (cur != nullptr) //搜索
{if (newnode->_kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = parent->_right;}else if (newnode->_kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = parent->_left;}else //相等即插入失败{return false;}
}
插入
- 将
newnode插入红黑树即将newnode与parent链接，这时就需要判断parent是否为空； - 当
parent为空时，即cur就是根节点_root，即newnode是这棵红黑树中的第一个结点，将 其赋值给_root即可； - 当
parent不为空时， 还需要判断cur位于parent的左边还是右边，然后再插入：
// 局部代码：插入newnode //
if (parent == nullptr) //插入
{_root = newnode;
}
else if (newnode->_kv.first < parent->_kv.first)
{parent->_left = newnode;newnode->_parent = parent;cur = newnode;
}
else
{parent->_right = newnode;newnode->_parent = parent;cur = newnode;
}
调整
在完成插入后，首先需要判断的是parent指针的状态：
- 当
parent为空时，表明当前结点为根结点，将其颜色改为BLACK即可调整完毕； - 当
parent指向结点的颜色为BLACK时，如果是在刚插入时，新插入的结点颜色为RED，不会影响该路径的黑色节点个数，所以不再需要调整。如果是在向上调整的过程中parent指向的结点为BLACK，也意味着整棵树调整结束了（这一点在后面的调整部分会详细介绍）； - 除了上面不用调整的两种情况外，其余的情况，即
parent指向的结点存在且为RED的情况就需要进行调整了。调整是自下而上的，循环向上调整，直到parent为空或parent指向的结点为BLACK时循环结束，调整完成
// 部分代码：自下而上调整的循环框架 //
while (parent != nullptr && parent->_col != BLUCK)
{}
开始调整时首先对parent为gparent（cur的祖父结点）的左子结点还是右子结点做一分类讨论（当parent不为黑时，由于根结点必须为黑，所以parent不是根结点，所以gparent一定存在）：
当parent为gparent的左子结点
当parent为gparent的左子结点时，我们首先要考察cur叔叔结点的情况：
-
当
cur的叔叔结点为RED时，不需要进行旋转调整，只需要将gparent指向结点设置为RED，将parent和cur的叔叔结点全部设置为BLACK即可：
由于在调整完颜色后，gparent指向结点颜色就为RED了，这时如果gparent父结点的颜色正好为红，就出现了连续的两个红色结点。所以需要将cur向上移动两个结点，再对其parent指向的结点继续进行判断：
-
当
cur的叔叔结点为BLACK或不存在时，就需要进行旋转调整了：
旋转的逻辑与之前AVL树类似，当cur位于parent的左边时，即左左——单次右旋：
当cur位于parent的右边时，即左右——左右双旋：
旋转调整后将gparent指向结点设置为RED，将子树顶部的结点设置为BLACK即可（parent指向的结点或cur指向的结点）：
经过旋转后的红黑树，子树顶部的颜色一定为黑色，再向上也就不会存在两个连续的红色结点的问题了，所以旋转之后直接终止循环即可。
需要注意的是：叔叔是黑色结点的情况一定是出现在调整过程中发生的，当叔叔结点为黑色时，cur下的路径中一定存在着与gparent右子树中黑色结点相同个数的黑色结点，parent下的路径中同样也存在着相同数目的黑色结点，这样在旋转调平衡后，这棵子树中的所有路径中的黑色结点数目与之前是不变的。
//部分代码：当parent为gparent左子结点的情况
if (parent == gparent->_left)
{if (gparent->_right == nullptr || gparent->_right->_col == BLUCK) //1.叔叔结点不存在或为黑，需要旋转并调色{if (cur == parent->_left)//左左->单次右旋{RotateR(gparent);parent->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;}else//左右->左旋+右旋{RotateL(parent);RotateR(gparent);cur->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;}break; //通过旋转调整后，该子树的根结点一定是黑，所以可以直接结束循环}else if (gparent->_right->_col == RED) //2.叔叔结点为红，通过调色即可实现红黑树{//调色parent->_col = BLUCK;gparent->_right->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;//继续向上cur = gparent;parent = cur->_parent;}else{assert(0);}
}
当parent为gparent的右子结点
当parent为gparent的右子结点时，与上面的情况一致，只是左右对调了，所以这里只给出图示与代码（如果在这种情况下遇到了问题，希望你在上面的情况中能够找到答案）：
-
叔叔结点为
RED，仅调整颜色：
-
叔叔结点为
BLACK或不存在，左单旋或右左双旋:
左单旋：
右左双旋：
旋转后调整颜色：
旋转后子树顶部的结点一定为BLACK，所以直接break即可。
//部分代码：当parent为gparent右子结点的情况 //
else //parent == gparent->_right
{if (gparent->_left == nullptr || gparent->_left->_col == BLUCK) //1.叔叔结点不存在或为黑，需要旋转并调色{if (cur == parent->_right)//右右->单次左旋{RotateL(gparent);parent->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;}else//右左->右旋+左旋{RotateR(parent);RotateL(gparent);cur->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;}break; //通过旋转调整后，该子树的根结点一定是黑，所以可以直接结束循环}else if (gparent->_left->_col == RED) //2.叔叔结点为红，通过调色即可实现红黑树{//调色parent->_col = BLUCK;gparent->_left->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;//继续向上cur = gparent;parent = cur->_parent;}else{assert(0);}
}
在while循环调整结束之后，再将根结点_root的颜色改为BLACK，统一做处理（insert的整体代码在这里就不做展示了，大家跳转至参考源码部分查看即可）。
参考源码
namespace qqq
{enum Color //枚举常量表示颜色{RED,BLUCK};template<class K, class V>struct RBTreeNode //结点类{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _parent;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;Color _col;RBTreeNode(const pair<K, V> kv = pair<K, V>()): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _col(RED){}};template<class K, class V>class RBTree //红黑树{typedef RBTreeNode<K, V> Node;public:bool insert(const pair<K, V>& kv){ //先插入Node* newnode = new Node(kv);Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur != nullptr) //搜索{if (newnode->_kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = parent->_right;}else if (newnode->_kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = parent->_left;}else //相等即插入失败{return false;}}if (parent == nullptr) //插入{_root = newnode;}else if (newnode->_kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = newnode;newnode->_parent = parent;cur = newnode;}else{parent->_right = newnode;newnode->_parent = parent;cur = newnode;}//调整颜色以及旋转使满足红黑树while (parent != nullptr && parent->_col != BLUCK) //当parent不为黑时，由于根结点必须为黑，所以parent不是根结点，所以gparent一定存在{Node* gparent = parent->_parent;if (parent == gparent->_left) {if (gparent->_right == nullptr || gparent->_right->_col == BLUCK) //1.叔叔结点不存在或为黑，需要旋转并调色{if (cur == parent->_left)//左左->单次右旋{RotateR(gparent);parent->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;}else//左右->左旋+右旋{RotateL(parent);RotateR(gparent);cur->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;}break; //通过旋转调整后，该子树的根结点一定是黑，所以可以直接结束循环}else if (gparent->_right->_col == RED) //2.叔叔结点为红，通过调色即可实现红黑树{//调色parent->_col = BLUCK;gparent->_right->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;//继续向上cur = gparent;parent = cur->_parent;}else{assert(0);}}else{if (gparent->_left == nullptr || gparent->_left->_col == BLUCK) //1.叔叔结点不存在或为黑，需要旋转并调色{if (cur == parent->_right)//右右->单次左旋{RotateL(gparent);parent->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;}else//右左->右旋+左旋{RotateR(parent);RotateL(gparent);cur->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;}break; //通过旋转调整后，该子树的根结点一定是黑，所以可以直接结束循环}else if (gparent->_left->_col == RED) //2.叔叔结点为红，通过调色即可实现红黑树{//调色parent->_col = BLUCK;gparent->_left->_col = BLUCK;gparent->_col = RED;//继续向上cur = gparent;parent = cur->_parent;}else{assert(0);}}}_root->_col = BLUCK;return true;}void RotateL(Node* parent){Node* gparent = parent->_parent;Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;parent->_right = curleft;if (curleft != nullptr){curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;parent->_parent = cur;cur->_parent = gparent;if (gparent == nullptr){_root = cur;}else{if (cur->_kv.first < gparent->_kv.first){gparent->_left = cur;}else{gparent->_right = cur;}}}void RotateR(Node* parent){Node* gparent = parent->_parent;Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;parent->_left = curright;if (curright != nullptr){curright->_parent = parent;}cur->_right = parent;parent->_parent = cur;cur->_parent = gparent;if (gparent == nullptr){_root = cur;}else{if (cur->_kv.first < gparent->_kv.first){gparent->_left = cur;}else{gparent->_right = cur;}}}bool isRBTree(){return isRBTree(_root);}protected:Node* _root = nullptr;bool checkColor(Node* root, int countBluck, int& baseBluck) //计算黑结点数量与红结点连续是否满足条件{if (root == nullptr){if (baseBluck == countBluck){return true;}return false;}if (root->_col == RED && root->_parent != nullptr && root->_parent->_col == RED){return false;}if (root->_col == BLUCK){countBluck++;}return checkColor(root->_left, countBluck, baseBluck) && checkColor(root->_right, countBluck, baseBluck);}bool isRBTree(Node* root){if (root == nullptr)return true;if (root->_col == RED)return false;//先计算一条路径中的黑色结点数量int baseBluck = 0;Node* cur = root;while (cur != nullptr){if (cur->_col == BLUCK){++baseBluck;}cur = cur->_right;}return checkColor(root, 0, baseBluck);}};
}
测试红黑树是否合格
在写完红黑树的insert之后，我们可以再编写一个测试模块来测试一棵树是否满足红黑树的特性：
我们其实只需要判断两点即可：
- 任一路径上的黑色结点个数是否相等；
- 是否存在连续的两个红色结点。
我们使用递归的方式来判断：
判断任一路径上的黑色结点个数是否相等时，必须要先计算某条路径上的黑色结点个数，可以通过 while循环计算最右侧一条路径上的黑色结点个数。将cur从_root开始一直向右子节点遍历即可，当cur为空时即该路径结束，终止循环。
然后使用checkColor函数（参数为当前结点指针Node*，计算中的当前路径黑色结点个数int，以及先前计算的最外层黑色结点个数int ）递归计算每条路径上的黑色结点个数，顺便判断是否存在连续的红色结点。
在递归过程中：
当_root为空时，即当前路径已经结束，判断countBluck与baseBlack的值是否相等，若相等返回true，否则返回false；
若当前结点为红色，则判断其父结点是否为红色，是就返回false；
若当前结点为黑色，countBluck加1，并继续向左右子结点递归，返回左子结点的结果&&右子结点的结果:
测试红黑树是否合格的代码这里就不赘述了，大家可以在参考源码部分查找。这里来展示一下测试结果：
namespace qqq
{void testfunc(){const int N = 10000000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(i);}RBTree<int, int> rbt;for (auto e : v){rbt.insert(make_pair(e, e));cout << "insert:" << e << "->" << rbt.isRBTree() << endl;}cout << rbt.isRBTree() << endl;}
}int main()
{qqq::testfunc();return 0;
}
因为这段测试代码中，存在大量I/O，所以运行速度很慢，大家可以将cout注释掉，只打印最后的结果。
总结
到此，关于红黑树的知识就介绍完了
在接下来的文章中，将会对红黑树进行封装，即map与set，尽情期待哦
如果大家认为我对某一部分没有介绍清楚或者某一部分出了问题，欢迎大家在评论区提出
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