回溯

1.回溯算法理论基础

1.1什么是回溯法？

1. 回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。
2. 回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

1.2回溯法的效率

1. 虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。
2. 因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

1.3回溯法解决的问题

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

补充：组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。

例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。

1.4如何理解回溯法？

1. 回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构
2. 因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。
3. 递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

1.5回溯法模板

• 回溯三部曲：

  • 回溯函数模板返回值以及参数（回溯算法中函数返回值一般为void）

  • 回溯函数终止条件：（搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。）

    if (终止条件) {存放结果;return;
    }
    

  • 回溯搜索的遍历过程（回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度）

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果
    }
    

    • for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。
    • 大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

• 回溯算法模板框架：

  void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
  }
  

2.组合

2.1问题

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

• 示例一：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]

• 示例二：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

2.2解法一：暴力解法（循环次数不确定）

• 使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。

  for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {cout << i << " " << j << endl;}
  }
  

• 如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，循环写不出来

2.3解法二：回溯

2.3.1回溯思路

• 分解成一层一层的树形结构：

• 使用res存放全部合适的结果；
• 使用paths存放当前的路径；

（1）回溯函数模板返回值以及参数

• 回溯函数返回值一般为void；
• 参数：
  • 题目要求 求范围[1,n]中所有可能的k个数的组合；
  • 参数有 n、k
  • 还要有一个startIndex，代表每次循环从数组第几个数开始遍历

private void backtracking(int n,int k,int startIndex)

（2）回溯函数终止条件

• 当当前路径 path 的个数达到k时，添加到res中

if(paths.size()==k){res.add(paths);return;	
}

（3）回溯搜索的遍历过程

• 从startIndex遍历该层的元素

for(int i=startIndex;i<=n;i++){paths.add(i);//递归backtracking(n,k,i+1);//回溯paths.remove(paths.size()-1);
}

2.3.2代码实现

	List<List<Integer>> res=new ArrayList<>();List<Integer> paths=new ArrayList<>();public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {backtracking(n,k,1);return res;}private void backtracking(int n,int k,int startIndex){if(paths.size()==k){res.add(new ArrayList<>(paths));return;	}for(int i=startIndex;i<=n;i++){paths.add(i);//递归backtracking(n,k,i+1);//回溯paths.remove(paths.size()-1);}}

2.3.3剪枝操作

• 回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的

• 遍历代码如下：

  for(int i=startIndex;i<=n;i++){paths.add(i);//递归backtracking(n,k,i+1);//回溯paths.remove(paths.size()-1);
  }
  

• 这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

  • 来举一个例子，n = 4，k = 4 的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

    

  • 如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

• 优化过程如下：

  • 已经选择的元素个数：path.size();
  • 还需要的元素个数为: k - path.size();
  • 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

• 为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

• 举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

• 从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

for(int i=startIndex;i<= n - (k - paths.size()) + 1;i++){paths.add(i);//递归backtracking(n,k,i+1);//回溯paths.remove(paths.size()-1);
}

3.组合总和 |||

3.1问题

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合，且满足下列条件：

• 只使用数字1到9
• 每个数字 最多使用一次

返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次，组合可以以任何顺序返回。

• 示例一：

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]
解释:
1 + 2 + 4 = 7
没有其他符合的组合了。

3.2解法：回溯

3.2.1回溯思路

（1）函数返回值以及参数

• 无返回值
• 参数：
  • k：总共需要k个数
  • n：总和为n
  • startIndex：从startIndex开始遍历
  • count：当前路径总和

private void backtracking(int k,int n,int startIndex,int count)

（2）终止条件

• 判断路径个数是否为k，路径总和是否为n，满足则添加到res中并返回

if( paths.size()==k ){if(count==n){res.add(new ArrayList<>(paths));   }return;	
}

（3）遍历过程

• 从startIndex开始递归（paths加上该节点、count总和加上）
• 递归后回溯（paths移除最后一个节点、count总和减去该节点值）

for(int i=startIndex;i<=9;i++){paths.add(i);//递归backtracking(k,n,i+1,count+=i);//回溯paths.remove(paths.size()-1);count-=i;
}

3.2.2代码实现

	List<List<Integer>> res=new ArrayList<>();List<Integer> paths=new ArrayList<>();public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {backtracking(k,n,1,0);return res;}private void backtracking(int k,int n,int startIndex,int count){if( paths.size()==k ){if(count==n){res.add(new ArrayList<>(paths));   }return;	}for(int i=startIndex;i<=9;i++){paths.add(i);//递归backtracking(k,n,i+1,count+=i);//回溯paths.remove(paths.size()-1);count-=i;}}

3.2.3剪枝操作

		for(int i=startIndex;i<= 9-(k-paths.size())+1 ;i++){paths.add(i);//递归backtracking(k,n,i+1,count+=i);//回溯paths.remove(paths.size()-1);count-=i;}