Union-Find连通性检测之quick-union

理论基础

在图论和计算机科学中，Union-Find 或并查集是一种用于处理一组元素分成的多个不相交集合（即连通分量）的情况，并能快速回答这组元素中任意两个元素是否在同一集合中的问题。Union-Find 特别适用于连通性问题，例如网络连接问题或确定图的连通分量。

Union-Find 的基本操作

Union-Find 数据结构支持两种基本操作：

1. Union（合并）: 将两个元素所在的集合合并成一个集合。
2. Find（查找）: 确定某个元素属于哪个集合，这通常涉及找到该集合的“代表元素”或“根元素”。

Union-Find 的结构

Union-Find 通常使用一个整数数组来表示，其中每个元素的值指向它的父节点，这样形成了一种树形结构。集合的“根元素”是其自己的父节点。

Union-Find 的优化技术

为了提高效率，Union-Find 实现中常用两种技术：

1. 路径压缩（Path Compression）: 在执行“查找”操作时，使路径上的每个节点都直接连接到根节点，从而压缩查找路径，减少后续操作的时间。
2. 按秩合并（Union by Rank）: 在执行“合并”操作时，总是将较小的树连接到较大的树的根节点上。这里的“秩”可以是树的深度或者树的大小。

应用示例

Union-Find 算法常用于处理动态连通性问题，如网络中的连接/断开问题或者图中连通分量的确定。例如，Kruskal 的最小生成树算法就使用 Union-Find 来选择边，以确保不形成环路。

总结

Union-Find 是解决连通性问题的一种非常高效的数据结构。它能够快速合并集合并快速判断元素之间的连通性。通过路径压缩和按秩合并的优化，Union-Find 在实际应用中可以接近常数时间完成操作。因此，它在算法竞赛、网络连接和社交网络分析等领域有广泛的应用。

数据结构

private int[] id // 分量id（以触点作为索引）
private int count // 分量数量

实验数据和算法流程

本实验使用tinyUF.txt作为实验数据，数据内容如下，一共定义了10对连通性关系

10
4 3
3 8
6 5
9 4
2 1
8 9
5 0
7 2
6 1
1 0
6 7

实验的目的是检测数据中共有多少个连通分量，并打印每个元素所属的连通分量编号

下图展示了处理5和9连通性的一个瞬间

完整流程如下

代码实现

原则是小树挂在大树下，如果一棵高度为1，但是有100个节点的树，要把高度为2的三节点小树挂在这课大树上

可以想象如果反过来，大树挂在小树下，大树的100个节点都将变成高度为3的树枝，这样的话查询的整体成本就太高了

import edu.princeton.cs.algs4.StdOut;
import edu.princeton.cs.algs4.StdIn;public class myQuickUnion {private int[] id;private int count;private int finds;private int[] size;public myQuickUnion(int N) { // 初始化分量id数组count = N;id = new int[N];for (int i = 0; i < N; i++) id[i] = i;size = new int[N];for (int i = 0; i < N; i++) size[i] = 1;}public boolean connected(int p, int q){return find(p) == find(q);}public int count(){ return count;}private int find(int p){while(p != id[p]){p = id[p];finds ++;}return p;}public void union(int p, int q){int pRoot = find(p);int qRoot = find(q);if(pRoot==qRoot) return;if(size[pRoot]<size[qRoot]){id[pRoot]=qRoot;size[qRoot]+=size[pRoot];}else{id[qRoot]=pRoot;size[pRoot]+=size[qRoot];}//id[pRoot] = qRoot;//此处注释掉的是随机将两棵树的根连接的表达式//根据实测，加权时总的find次数为2000左右，普通union为2万次左右count --;}public static void main(String[] args){int N = StdIn.readInt();myQuickUnion qu = new myQuickUnion(N);while(!StdIn.isEmpty()){int p = StdIn.readInt();int q = StdIn.readInt();if(qu.connected(p,q)) continue;qu.union(p,q);}StdOut.println("components: "+qu.count);for(int i=0;i<N;i++){StdOut.println(i+":"+qu.id[i]);}StdOut.println("find counts: "+qu.finds);}
}

代码详解

这段代码是一个实现了“加权快速合并”（Weighted Quick Union）的并查集算法的Java类 myQuickUnion。该算法用于处理大量元素的动态连通性问题，提高了普通快速合并（Quick Union）算法的效率。以下是对这段代码的详细解释：

类定义和变量

public class myQuickUnion {private int[] id;     // id数组，用于保存每个节点的父节点private int count;    // 连通分量的数量private int finds;    // 进行find操作的次数统计private int[] size;   // 每个根节点相应的分量大小

• id 数组中，每个位置保存了该位置元素的父节点索引。
• count 记录当前图中连通分量的数量。
• finds 用于记录执行 find 操作的次数，有助于分析算法性能。
• size 数组用于保存以每个节点为根的树的大小。

构造函数

public myQuickUnion(int N) {count = N;id = new int[N];for (int i = 0; i < N; i++) id[i] = i;size = new int[N];for (int i = 0; i < N; i++) size[i] = 1;
}

构造函数初始化了 id 数组和 size 数组。id 数组的每个元素初始指向自身，表示每个元素都是自己的根节点。size 数组中的每个元素初始为 1，表示每个根节点的树大小为 1。

方法实现

connected

public boolean connected(int p, int q) {return find(p) == find(q);
}

检查两个元素是否连通，即它们是否有相同的根。

find

private int find(int p) {while (p != id[p]) {p = id[p];finds++;}return p;
}

找到元素 p 的根节点。这里使用了路径压缩的一种简单形式，在找根的过程中顺便统计操作次数。

union

public void union(int p, int q) {int pRoot = find(p);int qRoot = find(q);if (pRoot == qRoot) return;if (size[pRoot] < size[qRoot]) {id[pRoot] = qRoot;size[qRoot] += size[pRoot];} else {id[qRoot] = pRoot;size[pRoot] += size[qRoot];}count--;
}

合并两个元素所在的树。如果一个树的大小小于另一个，小的树的根节点将指向大的树的根节点，并更新树的大小。这种“按大小加权”的策略有助于减少树的高度，从而提高后续操作的效率。

主函数

public static void main(String[] args) {int N = StdIn.readInt();myQuickUnion qu = new myQuickUnion(N);while (!StdIn.isEmpty()) {int p = StdIn.readInt();int q = StdIn.readInt();if (qu.connected(p, q)) continue;qu.union(p, q);}StdOut.println("components: " + qu.count);for (int i = 0; i < N; i++) {StdOut.println(i + ":" + qu.id[i]);}StdOut.println("find counts: " + qu.finds);
}

在主函数中，从标准输入读取元素数量和成对的整数。每对整数代表一次尝试连接的操作。如果两个元素已经连通，则忽略；否则，进行合并操作。最终，输出连通分量的数量、每个元素的最终根，以及进行 find 操作的总次数。

实验

代码编译

$ javac myQuickUnion.java

代码运行

该算法处理tinyUF.txt时由于使用了加权方法，优先将小树挂在大树下，这样可以极大减少find操作的次数，提高了性能，在打印中可以看到find counts的值为13，即一共执行了13次find，

$ java myQuickUnion < ..\data\tinyUF.txt 
components: 2
0:6
1:2
2:6
3:4
4:4
5:6
6:6
7:2
8:4
9:4
find counts: 13

如果将权重处理注释掉，使用普通quick-union方法，find counts数值会变为16，影响性能

如果导入mediumUF.txt或者largeUF.txt数据，这个差距将更加悬殊

java myQuickUnion < ..\data\tinyUF.txt
components: 2
0:1
1:1
2:1
3:8
4:3
5:0
6:5
7:1
8:8
9:8
find counts: 16

参考资料

算法（第四版） 人民邮电出版社