目录
1.二分查找的时间复杂度
2.斐波那契数列及其优化
3.空间复杂度
1.二分查找的时间复杂度
我们熟知的二分查找绝对是一种很厉害的算法，因为这个算法每进行一次都会砍掉一半的数据，相当于是指数级增长，假设我们刚开始的时候数据的个数是N，我们计算时间复杂度的时候，要考虑到最坏的情况，所以应该是N/2/2/2/2……=1,最后的计算的次数就是log以2为底N的对数，在数据结构里面，为了方便起见，我们会把这里的底数省略掉，写作logN,我们见到这样结构的时候就应该明白这里实际上是省略了底数2的，但是对于其他的底数，我们一般不能省略（实际上一般也不会遇到其他的底数）；
但是我们上面提到的都是二分查找的优点，其实二分查找并不常用，这个是什么原因呢？因为二分查找要求我们的数据是按照一定的顺序排列的，而且这个算法针对的是数组结构的数据，数组结构的数据无法进行数据的增删（如果想要进行数据的增删，就要让其他的数据全部前移或者后移）这样其实是很麻烦的，有些同学可能会提到链表，其实链表是无法随机的获取数据的，这个问题链表也是无能为力的，随着我们对于数据结构的学习的不断的深入，我们将会使用二叉搜索树，红黑树等结构来解决这样的问题；
二分查找的实现：分为左闭右闭区间和左闭右开区间两种情况
（1）左闭右闭区间：这个算法我们比较熟悉，实现起来也是比较容易的；
我们的mid就是取到中间值，我们的begin+end可能会越界，所以我们使用位运算符就可以解决这个问题，当然我们也是可以使用左边加右边的和除以2得到这个中间值；
（2）左闭右开区间：这个就要注意右边的开区间的取值问题；
2.斐波那契数列及其优化
下面的就是一个普通的斐波那契数列的算法，这个递归算法的时间复杂度表示的是递归的调用的次数，这个斐波那契数列的调用次数实际上是一个等比数列的求和的过程，最后求得的时间复杂度是O（2^N),当我们传递过去的N是50的时候，这个编译器计算的就很费劲了，我们可以使用循环对这个算法进行改造；
下面的循环就是改造之后的算法，我们这个时候的时间复杂度就是O（N），可见这个时候的效率是提高了很多的，这个时候我们再去计算50，就可以发现很快就得到结果；
但是实际上，这个循环的方法也是不行的，因为无论是long long类型，还是unsigned long long类型，都是有一定的数据范围的，都会造成越界的风险，在后续的C++里面，我们会使用大数算法解决这个越界的问题（简单地说大数算法就是把我们的很大的数据转换为字符串进行运算）；
3.空间复杂度
空间复杂度是算法计算需要额外开辟的空间，算法本身的某些空间是不包括在内的，例如我们对于一个数组排序的算法，我们的这个数组是需要我们进行排序的，这个数组的空间并不是我们自己开辟的空间，而是题目需要我们解决问题需要的空间，这个时候数组占用的空间不属于空间复杂度的计算范围；
因为现在的计算机的空间都比较大，所以我们一般不去考虑空间复杂度，但是某些情况还是会用到的，我们那道经典的轮转数组的题目，我们之前介绍了三段逆置的方法，我们其实还可以使用创建一个新的数组，把后面的几个数据拷贝到前面，把前面的数据拷贝到后面，再把这个新的数组拷贝给原来的数组，这个过程需要额外的开辟空间，这就是以空间换时间的做法，可以提高运行效率。
