论文概述

推荐系统的矩阵分解技术可以为用户提供更为准确的个性化推荐，对比传统的近邻技术，矩阵分解技术可以纳入更多信息，如隐式反馈、时间效应和置信度

近邻技术：基于用户或物品之间的相似性进行推荐，当用户之间已有评价计算出两个用户爱好类似，就将a用户的其他物品推荐给b

矩阵分解技术：把原来的大矩阵，近似分解成两个小矩阵的乘积，在实际推荐计算时不再使用大矩阵，而是使用分解得到的两个小矩阵。

论文内容

推荐系统策略

1. 为每一个用户或者项目创建一个档案记录特征，通过这些资料，系统可以将用户和匹配的产品联系起来

2. 协同过滤：依赖于用户过去的行为，分析用户之间的关系和产品之间的关系，按照群体行为去推荐，寻找和a相似的用户群体，将这些群体的爱好推荐给a

邻域方法：一个用户评价了产品A是好，那么他很有可能给A的相似产品B也评价好；当两个用户有很相似的爱好，那么他们之间的评分也可以互相补充

潜在因素模型：通过分析大量的用户评分，可以大概知道影响评分的一些潜在因素，比如你给戏剧电影很高评价，那么系统会认为戏剧这个特征就是一个潜在因素，当有新的戏剧出现就会给你推荐，利用一个二维模型简化说明，我们可以预测Gus可能对Dumb and Dumber的评分较高，而对Braveheart评分一般，不喜欢The Color Purple

横坐标表示用户的性别导向，纵坐标表示电影积极或消极，将用户和项目（电影）按照已有评价分析后放入图中，每个项目i对应一个向量qi，每个用户u对应一个pu，两者的点积越大，说明该用户对此项目偏爱程度更高

当一些用户可能并没有对某些电影做出评价，我们也可以通过该方法估算用户u对项目i的评分r

基本矩阵因式分解模型

将上述二维坐标扩展，将用户和项目映射到维数f的联合潜在因子空间，用户和项目的交互可以建模为空间的内积，捕获了用户和项目之间的交互，公式1表示预测的用户和项目之间的交互

该模型的主要挑战就是系统需要找到每个项目和用户映射的向量qi和pu，这个模型和SVD技术密切相关

奇异值分解SVD技术：

将一个大矩阵分解为三个部分，第一个部分告诉我们数据的主要方向，第二个部分告诉我们每个方向的重要性有多大，第三个部分则是另一个角度的数据主要方向。，但是当数据稀疏性很高，会导致过拟合状态

损失函数

早期为了解决稀疏性问题采用填补空缺值，但是往往不准确的估计值会扭曲数据，我们只对已有的评分建模，该系统通过拟合先前观察到的评级来学习模型。

公式2为SVD的损失函数，系统会最小化已知评分集合上的正则化平方误差，在加号左边是最小化预测评分与实际评分之间的差异，加号右侧是正则化项（也叫惩罚项）用于控制模型的复杂度；可以防止出现过拟合状态

优化算法

最小化该上述方程有两个方法：随机梯度下降法和交替最小二乘法

随机梯度下降法

随机梯度下降（SGD）就像是在一座大山的地图上寻找最低点，但你不能看到整个地形，只能通过不断随机挑选一些地方来感受坡度，然后沿着坡度最大的方向小步向下走，希望最终能找到那个最低点。

随机梯度下降是一种迭代的优化算法，它在每次迭代中只使用一个或一小批训练样本来更新模型参数。这种方法的优点是在大规模数据集上效率较高，因为不需要在每次迭代时处理整个训练集。

公式3表示给出训练集（u，i），系统会给出预测值qiTpu，然后用真是的计算值r减去预测值，得到误差预测值

接着我们要优化更新参数q和p，见公式4

首先，我们有一个误差项 e​，它表示模型对第 𝑖i 个样本的预测和实际值之间的差距。然后，我们有一个学习率 γ，它决定了我们根据这个误差调整模型参数的幅度，就像你决定每次走多远一样。接下来，我们用这个误差和学习率来更新参数qi​ 和 pu​。更新的过程就是让参数朝着减少误差的方向迈出一步，这一步的大小由学习率 γ 和误差 e​ 共同决定。

但是对于数据少或者需要更精确的状态还有一种方法：交替最小二乘法

交替最小二乘法ALS

每次固定一个因子向量（比如qi），改变另一个因子向量(pi)，如此反复交替直到收敛，利用ALS系统可以并行化，即可以同时计算多个因子向量，当面对隐式项目集的时候，训练集很难采用梯度下降，此时就可以利用ALS技术来优化算法

增加偏差

有时候有些用户会偏向于打低分，有些用户即使物品不喜欢也偏向于高分，有时候某些项目可能推出优惠劵等于是有高分，也并不代表用户就喜欢，也有可能某个平台就是限制评分等操作，所以我们往往要考虑这些偏差

总体平均评分用µ表示；参数bu和bi分别表示用户u和第i项与平均值的观测偏差，公式5表示用户和项目的交互偏差（用户对项目的偏好估计可能会产生的误差）

现在，假设µ对所有电影的平均评分是3.7星。此外，《泰坦尼克号》比一部普通电影要好，所以它的评分往往比平均电影高出0.5颗星。另一方面，乔是一个关键的用户，他的评分往往比平均水平低0.3颗星。因此，乔对《泰坦尼克号》的评级估计为3.9颗星（3.7 + 0.5 - 0.3）。

公式6在原有的用户和项目的交互算法上加入了偏差，现在右边四个值分别表示全局平均值、项目偏差、用户偏差和用户项目交互，从而使得结果更准确

 公式7在原来的损失函数上做了一些改变，添加了偏差项，对其建模非常重要

其他输入源

通常，一个系统必须处理冷启动问题，其中许多用户提供很少的评级，使它很难对他们的品味得出一般性的结论。缓解这个问题的一种方法是合并关于用户的其他信息来源。推荐系统可以使用隐式反馈来深入了解用户的偏好。

• N(u)表示用户u的隐式偏好项目集
• A(u)表示用户u对应的属性集（性别、年龄、家庭等）
• xi表示用户的隐式爱好集内每个项目的对应向量，这个累加和反映了用户 u 对项目集中所有项目的因素向量的综合偏好

为了使得这个累加和更有意义，通常会进行规范化处理。规范化可以帮助我们调整不同用户之间项目集大小的差异，以及防止偏好向量的长度变得过大，导致模型不稳定。一个常见的规范化方法是减去一个比例因子，例如项目集大小的0.5倍

时间动态

在公式6的基础上，给项目偏差、用户偏差、用户偏好向量都加上了时间的概念，因为物品本身不像人，基本特征是不会变化，可以视为静态

• 第一个时间效应解决了这样一个事实，即一件物品的受欢迎程度可能会随着时间的推移而改变。例如，电影可能会被外部事件引发，比如演员在新电影中的出现。因此，这些模型将项目偏差b视为时间的函数。
• 第二个时间效应允许用户随着时间的推移而改变他们的基线评级。例如，一个倾向于给平均电影“4星”的用户现在可能会给这样的电影评级“3星”。这可能反映了几个因素，包括用户评分量表的自然漂移，用户相对于其他最近的评分，以及家庭成员的身份会随着时间的推移而改变。因此，在这些模型中，参数bu是一个时间的函数。
• 第三个时间效应使得用户会随着时间的推移而改变他们的偏好。例如，一个心理惊悚片类型的粉丝可能会在一年后成为犯罪剧的粉丝。类似地，人类也是在改变了他们对某些演员和导演的看法。该模型通过将用户因素（向量pu）作为时间的函数来解释这种效应。

不同置信度的输入

矩阵分解模型可以很容易地接受不同的置信水平，这让它给不太有意义的观察更少的权重。如果对观察 r 的信心表示为 c ，那么模型将可以增强成本函数