1301-习题1-1高等数学

1. 求下列函数的自然定义域

自然定义域就是使函数有意义的定义域。

常见自然定义域：

开根号 $\sqrt x$ ： $\ge 0$
自变量为分式的分母 $\frac{1}{x}$ ： $\ne 0$
三角函数 $\tan x \cot x$ ： $x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi$
反三角函数 $\arcsin x,\arccos x$ ： $-1\le x\le 1$
反三角函数 $\arctan x$ ： $x\in R$
对数函数 $\ln x$ ： $x\gt 0$

(3) $y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2}$
$解：\\ \begin{cases} x\ne 0,\\ 1-x^2\ge 0\\ \end{cases}\\ 得 -1\le x\le 1且x\ne 0\\ \therefore D=[-1,0)\cup(0,1]$
(8) $y=\sqrt{3-x}+\arctan{\frac{1}{x}}$
$解：\\ 该函数由y_1=\sqrt{3-x}与y_2=\arctan{\frac{1}{x}}复合而成，所以应同时满足\\ \begin{cases} 3-x\ge 0,\\ x\ne 0\\ \end{cases}\\ 得 x\le 3且x\ne 0\\ \therefore 定义域D = (-\infty, 0)\cup (0,3]$

2. 下列各题中，函数 $f (x) 和 g (x)$ 是否相同？为什么？

函数相同满足条件：定义域相同；函数关系相同；

Tips: 变量符号可不同

（3） $f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3},g(x)=x\sqrt[3]{x-1}$
$f(x)与g(x)相同\\ f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3},x\in R\\ 化简得:f(x)=x\sqrt[3]{x-1}\\ g(x)=x\sqrt[3]{x-1},x\in R\\ 定义域相同，函数关系相同，所以f(x)与g(x)相同$
(4) $f(x)=1,g(x)=\sec^2x-\tan^2x$
$解：\\ f(x)定义域为:D_f=R\\ g(x)的定义域为D_g=(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi),k\in Z\\ \therefore f(x)与g(x)不同$

3. 分段三角函数值和图形

$\phi(x)=\begin{cases} |\sin x|,\quad|x|\lt \frac{\pi}{3},\\ 0,\qquad\quad |x|\ge \frac{\pi}{3} \end{cases}$

求 $\phi(\frac{\pi}{6}),\phi(\frac{\pi}{4}),\phi(-\frac{\pi}{4}),\phi(-2)$ ，并做出函数 $y=\phi(x)$ 的图形
$解：\\ \phi(\frac{\pi}{6})=|\sin \frac{\pi}{6}|=\frac{1}{2}\\ \phi(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\\ \phi(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\\ \phi(-2)=0$
图形如下图所示：

在这里插入图片描述

4. 试证下列函数在指定区间内的单调性：

（1） $y=\frac{x}{1-x},(-\infty,1)$ (2) $y=x+\ln x,(0,+\infty)$
$证明：\\ (1)设置x_1,x_2\in (-\infty,1),且x_1\lt x_2\\ f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}\\ =\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}\lt 0\\ \therefore y=\frac{x}{1-x}在区间(-\infty,1)上单调递增\\ （2）设置x_1,x_2\in (0,+\infty),且x_1\lt x_2\\ f(x_1)-f(x_2)=x_1+\ln x_1-(x_2+\ln x_2)\\ =(x_1-x_2)+\ln\frac{x_1}{x_2}\lt 0\\ \therefore y=x+\ln x在区间(0,+\infty)区间上单调递增$

5. 奇偶性与单调性

设f(x)为定义在 $(- l, l)$ 内的奇函数，若f(x)在 $(0, l)$ 内单调增加，证明f(x)在 $(- l, 0)$ 内也单调递增
$证明：\\ 设x_1,x_2\in(0,l),且x_1\lt x_2\\ 则 -x_1,-x_2\in(-l,0),且-x_1\gt -x_2\\ \because f(x)在(-l,l)内为奇函数，则\\ f(x)=-f(-x)\\ f(x)在(0,l)内单调增加\\ f(x_1)\lt f(x_2)\\ 即-f(-x_1)\lt -f(-x_2)=>f(-x_1)\gt f(-x_2)\\ 即f(x)在(-1,0)内也单调增加$

6. 奇偶运算结果的奇偶性

只给结论，不再证明

两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。
两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

8.周期函数的周期

(3) $1+\sin(\pi x)$ 周期 2 (5) $sin^2x$
$\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}\\ 周期为\pi$

9.求下列函数的反函数

(2) $y=\frac{1-x}{1+x}$
$解：\\ y=\frac{1-x}{1+x}\\ y(1+x)=1-x\\ yx+x=1-y\\ x=\frac{1-y}{1+y},y\not=-1\\ f^{-1}(x)=\frac{1-x}{1+x},x\not=-1$

(3) $y=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc\not=0)$
$解：\\ y=\frac{ax+b}{cx+d}\\ y(cx+d)=ax+b\\ cyx-ax=b-dy\\ x=\frac{-dy+b}{cy-a}$
(6) $y=\frac{2^x}{2^x+1}$
$解：\\ y = \frac{2^x}{2^x+1}\\ 2^x(1-y)=y\\ x=\log_2(\frac{y}{1-y})\\ f^{-1}(x)=\log_2(\frac{y}{1-y})$