Atcoder ABC397-D 题解

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题目描述：

确定是否存在一对正整数 $(x,y)$ ,使得 $x^3-y^3=N$

思路：

首先对方程进行转化

设 $k=x-y$

$\because N=x^3-y^3=x^3-(x-k)^3=x^3-(x^3-3x^2k+3xk^2-k^3)$

$\therefore N=x^3-y^3=3x^2k-3xk^2+k^3$

即 $3x^2k-3xk^2+k^3-N=0$

接下来确定 $k$ 的范围

根据立方差公式

$N=x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=k(x^2+xy+y^2)$

$\because x>0,y>0$ $\therefore xy>0$

$\therefore k(x^2+xy+y^2)\geq k(x^2-2xy+y^2)=k\cdot k^2=k^3$

$\therefore N\geq k^3$ $\therefore k\leq \sqrt[3]{N}$

$\because N\leq 10^{18}$

$\therefore k\leq \sqrt[3]{n}\leq 10^{6}$

因此，我们可以从 $1$ 到 $\sqrt[3]{N}$ 来逐个枚举 $k$

此时方程的 $k$ 就变成了常数

设 $a=3k$ , $b=-3k^2$ , $c=k^3-N$

原方程变为 $ax^2+bx+c=0$

这时，只需要解一下这个二次方程就可以了

$x=\frac{-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

提醒：

$\because b=-3k^2\geq -10^{12}$

$\therefore b^2\leq10 ^{24}$ 会爆long long

所以要开__int128

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
signed main(){cin>>n;for(int i=1;i*i*i<=n;i++){int a=3*i,b=-3*i*i,c=i*i*i-n;__int128 u=b,v=a;u=u*u-4*v*c;__int128 k=sqrtl(u);if(k*k==u){int xa=(-b+k),xb=(-b-k);if(xa>0&&xa%(2*a)==0&&xa/2/a-i>0){xa/=(2*a);cout<<xa<<" "<<xa-i;return 0;}if(xb>0&&xb%(2*a)==0&&(xb/2/a)-i>0){xb/=(2*a);cout<<xb<<" "<<xb-i;return 0;}}}cout<<"-1";return 0;
}

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