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 所有可能的路径

1 图的基本概念

1.1 有向图和无向图

左边是有向图，右边是无向图。对于无向图来说，图中的边没有方向，两个节点之间只可能存在一条边，比如 0 和 1 之间的边，因为是无向图，这条边可以表示从 0 到 1 的边，也可以表示从 1 到 0 的边。对于有向图来说，图中的边有方向， 0 和 1 之间可以存在两条边，一条表示从 0 到 1 的边，一条表示从 1 到 0 的边。

用邻接矩阵来表示上边两个图，如下所示。

// 有向图
[[1], // 有从 0 到 1 的边[0， 2], // 从 1 到 0 的边和从 1 到 2 的边[0]  // 从 2 到 0 的边
]// 无向图
[[1, 2], // 从 0 到 1 和从 0 到 2 的边[0, 2], // 从 1 到 0 和从 1 到 2 的边[0, 1]  // 从 2 到 0 和从 2 到 1 的边
]

1.2 有环图和无环图

讨论有环图还是无环图，一般说的是有向图。因为对于无向图来说，从 0 到 1 有边，那么从 1 到 0 就有边，本身就是一个环。

有环图说的是从一个节点开始遍历，在遍历过程中还能遍历到这个节点的图，除了开始节点和结束节点是相同的，其它节点不能重复出现，并且路径长度大于 2。

在图的遍历算法中，为了防止一个节点被重复遍历，往往需要一个 visited[n] 数组来标记一个节点是不是被遍历过。visited 数组下标是节点的值，元素值均被初始化为 0，当一个节点被遍历时，则将值改为 1。对于有向有环图来说，需要 visited 数组来标记，因为有环，一个节点可能被多次访问；对于有向无环图来说，一个节点不会被重复遍历，所以不需要 visited 数组来标记。

1.3 连通图和非连通图

下边两个图，上边的是非连通图，下边的是连通图。连通图，指的是从一个节点出发沿着边进行遍历，能把图中的节点都遍历到的图。 这个很像那种益智小游戏，看怎么样能一笔把图中的所有点连起来。

当对图做遍历时，如果图是连通的，那么从一个节点开始，遍历一次，就能将图中所有的节点遍历一遍，所以遍历一次就可以了。如果图不是连通的，那么遍历一次，无法将所有的点都遍历一遍，这个时候要从每个点都开始，每个节点都要开始一次，遍历一遍。

2 深度优先搜索和广度优先搜索

图是一种二维的数据结构，可以使用邻接表或者邻接矩阵来表示，更多的使用邻接表来表示，有行和列。

1.3 节中连通图的邻接矩阵表示如下：

深度优先，从遍历过程来看，优先在纵向遍历，纵深，深度。

广度优先，从遍历过程来看，优先在横向遍历，横向是广度。

纵向是深度，横向是广度。

上边这个图，从节点 0 开始遍历，第一步遍历到节点 1，下一步遍历的选择就是深度优先和广度优先的区别。下一步遍历 1 节点开始的链表，也就是跳到第二行开始遍历，遍历到节点 1 的邻接点 2，这就是深度优先遍历；下一步还是在 0 这一行，遍历节点 2，这就是广度优先遍历。

深度优先遍历和广度优先遍历不仅仅适用于图这种数据结构。二叉树的遍历包括前序遍历，中序遍历，后序遍历以及层序遍历。前 3 种遍历方式属于深度优先遍历，层序遍历属于广度优先遍历。二叉树也属于二维的数据结构。

二叉树遍历算法和应用

2.1 时间复杂度

深度优先和广度优先遍历图，都是沿着边进行遍历的。如果节点个数是 n，那么对于无向图来说，边的个数最大是 n(n - 1)/2；对有向图来说，边的个数最大是 n(n - 1)。

所以最差的情况下，两种算法的时间复杂度均是 O(n * n)。

3 所有可能的路径

如下是 leetcode 中的题目说明。

题意中的图是有向无环图，有向并且没有环，所以在遍历的时候不需要使用 visited 数据来标记一个节点是不是被访问过，因为没有环，一个节点不会被重复访问。

3.1 深度优先

这个题目适合使用深度优先遍历算法。深度优先遍历，是递归算法，递归算法需要注意两点：递归退出条件，一定要有退出条件，否则会一直递归下去；递归体，也就是递归算法的主要逻辑。递归算法的这两点与循环类似，循环算法也包括循环退出条件和循环主要逻辑。

找路径的题目，使用递归算法的题目，不管是图和是二叉树，最核心的就是如下代码注释中的三段式。

（1）将节点加入到路径

（2）递归

（3）将节点移出路径

为什么加入的节点要移出呢，因为这个节点加入之后，进行了递归运算。也就是说以这个节点为基础的路径都已经全部遍历。下一次要遍历的节点与这个节点是并列的节点，并不是路径的前后关系，它们属于这一行的邻接点。要进行下一步遍历，这个节点需要移出，因为后边遍历的节点跟这个节点不在一个路径，只不过都是当前这一行的得邻接点而已。

class Solution {
public:vector<vector<int>> allPathsSourceTarget(vector<vector<int>>& graph) {const int n = graph.size();// 没有数据，直接返回if (n == 0) {return ret;}// 要找的路径是从 o 到 n - 1// 所以从 0 开始遍历// 在遍历之前要把这个点加入到路径中one_path.push_back(0);// 深度优先遍历DfsScan(graph, 0, n);return ret;}// 深度优先遍历时一种递归算法void DfsScan(vector<vector<int>>& graph, int index, const int n) {// 递归退出条件，当前这个点是 n - 1 的时候，说明找到了这样一个路径// 将这条路径加入到结果中if (index == n - 1) {ret.push_back(one_path);return;}// 递归体，深度优先搜索// 对于遍历的这个节点，找到这个节点锁代表的这一行，遍历这一行// 这种方式取出数据的一行，会发生拷贝，直接使用引用来获取数据可以避免数据拷贝//   vector<int> line = graph[index];//   int line_size = line.size();//   for (int i = 0; i < line_size; i++) {for (int & data : graph[index]) {// 三段式// 1、push_back 将节点加入到路径中// 2、递归运算// 3、将节点从路径中移走one_path.push_back(data);DfsScan(graph, data, n);one_path.pop_back();}}private:vector<vector<int>> ret;vector<int> one_path;
};

3.2 广度优先

广度优先需要使用一个队列和循环算法。在循环之前将一个元素加入到队列中，循环的条件是队列不为空，循环中的逻辑是把新遍历到的节点加入到队列中。

找路径这样的题目，广度优先没有深度优先好理解。深度优先在遍历的过程中，前后相邻的两个被遍历的点一定是一条路径上的前后的两个点，这样遍历到一个点，直接追加到路径上就可以。而广度优先遍历不是这样的，相邻两次遍历的点不是属于路径上的前后点，而是只属于当前这一行首节点的邻接点。这样就需要给每个节点维护一个路径，当这个节点是首节点的时候，那么这个节点的所有邻接点的路径都要更新，都要在这个首节点的路径的基础上加上当前这个节点。

  class Solution {
public:struct Node {int data;vector<int> path;};vector<vector<int>> allPathsSourceTarget(vector<vector<int>>& graph) {int size = graph.size();if (size == 0) {return ret;}Node node;node.data = 0;// 将节点加入到队列中// 节点保存着到当前这个节点的路径node.path.push_back(0);// 循环的出发条件，只要队列不是空，循环就继续进行q.push(node);while (!q.empty()) {// 从队列中获取一个元素// 开始遍历以这个元素为行首的节点，即广度优先遍历Node tmp = q.front();q.pop();for (int &d : graph[tmp.data]) {Node linenode;linenode.data = d;linenode.path = tmp.path;linenode.path.push_back(d);// 当前这个节点是 size - 1 了，找到了满足条件的一个路径// 那么这个节点就不需要加入队列了// 加入队列之后下次遍历的时候，路径后边还要加入其它节点// 继续追加没有意义，因为当前已经是要找的路径了if (d == size - 1) {ret.push_back(linenode.path);} else {q.push(linenode);}}}return ret;}private:std::queue<Node> q;vector<vector<int>> ret;
};