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• 🍖 原作者：K同学啊

一、什么是位置编码

1. 位置编码定义

Transformer 模型中的位置编码是为了在处理序列数据时引入位置信息，以便模型能够分辨输入序列中不同位置的词或标记。
其中，每个位置/索引都映射到一个向量。因此，位置编码层的输出是一个矩阵，其中矩阵的每一行代表序列中的一个编码对象与其位置信息相加。下图为仅对位置信息进行编码的矩阵示例。

2. 三角函数

位置编码由不同频率的正弦和余弦函数给出，下图为正弦函数的快速回顾，不同波形的波长和频率如下所示：

3. 位置编码公式

假设有一个长度为L的输入序列，要计算第K个元素的位置编码。位置编码有不同频率的正弦和余弦函数给出：

$$P(k,2i)=sin(\frac{k}{n^{2i/d}}).$$
$$P(k,2i+1)=cos(\frac{k}{n^{2i/d}}).$$

参数详解：

• $k$：对象 （即句子中的字符）在输入序列中的位置，$0<=k<\frac{L}{2}$
• $d$：输出嵌入空间的维度
• $P(k,j)$：位置函数，用于映射输入序列中$k$处的元素到位置矩阵的$(k,j)$处
• $n$：用户定义的标量（Transformer论文作者的值为10000）
• $i$：用于映射到列索引，$0<=i<\frac{d}{2}$，单个值$i$映射到正弦和余弦函数
  

4. 位置编码示例

为理解上述表达式，以短语"I am a robot"为例，其中$n=100$，$d=4$。下表显示了该短语的位置编码矩阵。对于任何$n=100$，$d=4$的四字母短语，位置编码矩阵都是相同的。

二、可视化理解位置编码

1. Python实现位置编码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef getPositionEncoding(seq_len, d, n=10000):P = np.zeros((seq_len, d))for k in range(seq_len):for i in np.arange(int(d/2)):denominator = np.power(n, 2*i/d)P[k,2*i] = np.sin(k/denominator)P[k,2*i+1] = np.cos(k/denominator)return PP = getPositionEncoding(seq_len = 4, d = 4, n = 100)
print(P)

输出如下：

[[ 0.          1.          0.          1.        ][ 0.84147098  0.54030231  0.09983342  0.99500417][ 0.90929743 -0.41614684  0.19866933  0.98006658][ 0.14112001 -0.9899925   0.29552021  0.95533649]]

2. 单个字符可视化

查看$n=10000$和$d=512$的不同位置的正弦波开始

def plotSinusoid(k, d = 512, n = 10000):x = np.arange(0, 100, 1)denominator = np.power(n, 2*x/d)y = np.sin(k/denominator)plt.plot(x, y)plt.title('k = ' + str(k))fig = plt.figure(figsize=(15,4))
for i in range(4):plt.subplot(141 + i)plotSinusoid(i * 4)

输出：

上图可看出每个位置对应不同的正弦曲线，将单个位置编码为向量。

3. 整句话的位置编码可视化

可视化$n=10000$的位置矩阵

P = getPositionEncoding(seq_len = 100, d=512, n = 10000)
cax = plt.matshow(P)
plt.gcf().colorbar(cax)

输出：

三、位置编码的最终输出

Transformer中的位置编码层把位置向量与单词编码相加，并为后续层输出该矩阵。整个过程如下图所示：

四、总结

Transformer的位置编码一方面通过正弦和余弦函数来编码位置信息，这种编码方式能够使得不同位置的编码在空间上有良好的分布。
另一方面分别使用正弦和余弦函数来编码偶数和奇数位置，以确保位置编码能够捕捉到位置之间的关系。