因为上课的时候一直在摸鱼没有听懂，所以复习的时候理解一下数据库中关于范式的相关知识点。涉及范式的定义，以及给定一个函数依赖集判断是那种范式的方法。

范式

  迄今为止一共提出了 $6$ 种范式，他们的关系是 $5\mathrm{NF}\subset 4NF\subset \mathrm{BCNF}\subset 3NF\subset 2NF\subset 1NF$，在这里我们只讨论后 $4$ 个范式（不讨论 $4\mathrm{NF}$ 和 $5\mathrm{NF}$）。

第一范式（1NF）

  这是关系型数据库最基本的要求。只要是关系型数据库中的关系（即没有“表中有表”等问题），那么它就是 $1NF$。

第二范式（2NF）

  定义：若 $R\in 1\mathrm{NF}$，且每一个非主属性完全函数依赖于任何一个候选码，则 $R\in 2NF$。（定义太绕，建议看解读。）

非主属性：一个关系可能有很多候选码，在候选码里面的都是主属性；不在候选码里面的就是非主属性。比如关系 $R(A,B,C,D,E,F)$ 有 $3$ 个候选码 $ABC$，$CE$ 和 $D$，那么主属性就是 $ABCDE$，非主属性就是 $F$。

  解读：只要不存在非主属性对码的部分依赖，就属于第二范式。
  举一个不是第二范式的例子，关系 $R(A,B,C,D)$ 里面，已知它的码是 $AB$，并且有函数依赖 $B\to D$。由于不需要知道 $AB$，只需要知道其一部分 $B$ 就可以得出非主属性 $D$，因此 $R$ 不是第二范式。

第三范式（3NF）

  定义：设关系模式 $R<U,F>\in 1\mathrm{NF}$，若 $R$ 中不存在这样的码 $X$，属性组 $Y$ 及非主属性 $Z(Z⊉Y)$ 使得 $X\to Y$，$Y\to Z$ 成立，$Y\nrightarrow X$，则称 $R\in 3\mathrm{NF}$。

这里强调 $Y\nrightarrow X$ 是为了 $Z$ 对 $X$ 的传递依赖成立。如果 $Y\to X$，那么 $Z$ 对 $X$ 就是直接函数依赖。

  解读：只要不存在非主属性对码的部分和传递依赖，就属于第三范式。实际上，只要消除了传递依赖，也就顺便消除了部分依赖，所以判定是不是 $3\mathrm{NF}$ 时只需看是否存在传递依赖就好了。
  举一个不是第三范式的例子，关系 $R(A,B,C)$ 中，已知它的码是 $A$，存在函数依赖 F = { A → B , B → C , A → C } F=\{A\rightarrow B,B\rightarrow C,A\rightarrow C\} F={A→B,B→C,A→C}。既然 $A$ 能够决定 $B$，然后 $B$ 又决定 $C$，那么就有 $A\stackrel{传递}{\to }C$，所以不是第三范式。

注意这个例子中，$C$ 不是主属性。

BC范式（BCNF）

  定义：设关系模式 $R<U,F>\in 1\mathrm{NF}$，若 $R$ 中不存在这样的码 $X$，若 $X\to Y$ 且 $Y⊈X$ 时 $X$ 必含有码，则 $R\in \mathrm{BCNF}$。
  解读：只要所有函数依赖的决定因素都含有码，那么就是BC范式。
  举一个不是BC范式的例子，关系 $R(S,T,J)$ 里面的候选码有 $(S,J)$ 和 $(S,T)$，并且存在函数依赖 $F=\{(S,J)\to T,(S,T)\to J,T\to J\}$。这个关系的决定因素 $\{(S,J),(S,T),T\}$ 里面，$T$ 是不含码的（虽然是候选码的一部分，但是没有完整包含候选码），所以它不是BC范式。

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 各种范式之间的关系总结如下：

练习

$1$.指出下列关系模式最高是第几范式（不考虑 $4NF,5NF$）？
$(1)$ R ( X , Y , Z ) , F = { X Y → Z } R(X,Y,Z),F=\{\mathit{XY}→Z\} R(X,Y,Z),F={XY→Z}，侯选码 $XY$。
$(2)$ R ( X , Y , Z ) , F = { Y → Z , X Z → Y } R(X,Y,Z),F=\{Y→Z, \mathit{XZ}→Y\} R(X,Y,Z),F={Y→Z,XZ→Y}，侯选码 $XY$ 与 $XZ$。
$(3)$ R ( X , Y , Z ) , F = { X → Y , X → Z } R(X,Y,Z),F=\{X→Y, X →Z\} R(X,Y,Z),F={X→Y,X→Z}，侯选码 $X$。
$(4)$ R ( W , X , Y , Z ) F = { X → Z , W X → Y } R(W,X,Y,Z) F=\{X→Z, \mathit{WX}→Y\} R(W,X,Y,Z)F={X→Z,WX→Y}，候选码 $WX$。

答案
$(1)$ 所有函数依赖的决定因素 { X Y } \{{XY}\} {XY} 都含有码 $XY$，因此最高是 $\mathrm{BCNF}$。
$(2)$ 没有非主属性，因此至少是 $3NF$。由于存在一个决定因素 $Y$ 不含码，因而不是 $\mathrm{BCNF}$，所以最高是 $3NF$。

TIPS：$2NF$ 和 $3NF$ 都是对非主属性作出要求，如果一个关系本身就没有非主属性，那么这些要求自然就是满足的，因此该关系至少是 $3NF$。

$(3)$ 同 $(1)$，决定因素 { X } \{X\} {X} 都含有码 $X$，因而最高是 $\mathrm{BCNF}$。
$(4)$ $Z$ 是非主属性，$Z$ 依赖于 $X$，然而 $X$ 是候选码 $WX$ 的子集。因此存在非主属性对码的部分函数依赖，不是 $2NF$，因此最高是 $1\mathrm{NF}$。

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$2$.考虑关系模式$R(A,B,C,D)$，写出满足下列函数依赖时 $R$ 的码，并给出 $R$ 最高属于哪种范式？（$1NF,2NF,3NF$ 或 $\mathrm{BCNF}$）
$(1)$ $B\to D,AB\to C$
$(2)$ $A\to B,A\to C,D\to A$
$(3)$ $BCD\to A,A\to C$
$(4)$ $B\to C,B\to D,CD\to A$
$(5)$ $ABD\to C$

答案

题号	码	最高属于哪个范式
$(1)$	$AB$	$1NF$
$(2)$	$D$	$2NF$
$(3)$	$BCD,ABD$	$3NF$
$(4)$	$B$	$2NF$
$(5)$	$ABD$	$\mathrm{BCNF}$