力扣每日一题 6/20 数学+数组

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2748.美丽下标对的数目【简单】

题目：

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。如果下标对 i、j 满足 0 ≤ i < j < nums.length ，如果 nums[i] 的 第一个数字 和 nums[j] 的 最后一个数字 互质，则认为 nums[i] 和 nums[j] 是一组 美丽下标对 。

返回 nums 中 美丽下标对 的总数目。

对于两个整数 x 和 y ，如果不存在大于 1 的整数可以整除它们，则认为 x 和 y 互质。换而言之，如果 gcd(x, y) == 1 ，则认为 x 和 y 互质，其中 gcd(x, y) 是 x 和 y 的 最大公因数 。

示例 1：

输入：nums = [2,5,1,4]
输出：5
解释：nums 中共有 5 组美丽下标对：
i = 0 和 j = 1 ：nums[0] 的第一个数字是 2 ，nums[1] 的最后一个数字是 5 。2 和 5 互质，因此 gcd(2,5) == 1 。
i = 0 和 j = 2 ：nums[0] 的第一个数字是 2 ，nums[2] 的最后一个数字是 1 。2 和 5 互质，因此 gcd(2,1) == 1 。
i = 1 和 j = 2 ：nums[1] 的第一个数字是 5 ，nums[2] 的最后一个数字是 1 。2 和 5 互质，因此 gcd(5,1) == 1 。
i = 1 和 j = 3 ：nums[1] 的第一个数字是 5 ，nums[3] 的最后一个数字是 4 。2 和 5 互质，因此 gcd(5,4) == 1 。
i = 2 和 j = 3 ：nums[2] 的第一个数字是 1 ，nums[3] 的最后一个数字是 4 。2 和 5 互质，因此 gcd(1,4) == 1 。
因此，返回 5 。

示例 2：

输入：nums = [11,21,12]
输出：2
解释：共有 2 组美丽下标对：
i = 0 和 j = 1 ：nums[0] 的第一个数字是 1 ，nums[1] 的最后一个数字是 1 。gcd(1,1) == 1 。
i = 0 和 j = 2 ：nums[0] 的第一个数字是 1 ，nums[2] 的最后一个数字是 2 。gcd(1,2) == 1 。
因此，返回 2 。

提示：

2 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 9999
nums[i] % 10 != 0

分析问题：

读完题，第一思路就是模拟题目，跟着题目的要求遍历nums列表，然后符合题意则计数。但这里需要注意的是，j>i 并且只取nums[i]的第一位数字以及nums[j]的最后一位数字，什么意思呢？

也就是说这里我们要进行一个字符串切割，并且后续我们比对的时候也只需要比对10以下的数字是否互质即可，那么这里我们就可以用简单的方法，没有必要全部去比对，只需要知道nums[i]的第一位数字和nums[j]的最后一位数字是什么我们就能直接得到是否互质这个答案，可以大大减小我们的时间复杂度。接下来请看代码实现以及两者之间的复杂度比对。

代码实现：

优化前：

class Solution:def countBeautifulPairs(self, nums: List[int]) -> int:import mathdef pan(m,n):if math.gcd(m,n)==1: return Truereturn Falsev=0for i in range(len(nums)-1):for j in range(i+1,len(nums)):if pan(int(str(nums[i])[0]),int(str(nums[j])[-1])): v+=1return v

优化后：

class Solution:def countBeautifulPairs(self, nums: List[int]) -> int:factor = {1: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],2: [1, 3, 5, 7, 9],3: [1, 2, 4, 5, 7, 8],4: [1, 3, 5, 7, 9],5: [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9],6: [1, 5, 7],7: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9],8: [1, 3, 5, 7, 9],9: [1, 2, 4, 5, 7, 8]}last = [0] * 10for num in nums:last[num % 10] += 1count = 0for i, num in enumerate(nums):last[num % 10] -= 1while num // 10 > 0:num //= 10for gcd_num in factor[num]:count += last[gcd_num]return count

通过对比两者的提交耗时，可以直观的发现优化后的复杂度有大大降低。

总结：

优化后代码详解：

factor 字典：定义了每个数字的因数列表。例如，数字 1 的因数是 1、2、3、4、5、6、7、8、9，数字 2 的因数是 1、3、5、7、9，以此类推。
last 列表：用于记录每个数字在列表中出现的次数。初始时，每个数字的出现次数都为 0。
遍历列表 nums：对于每个数字 num，将其在 last 列表中的出现次数加 1。
再次遍历列表 nums：对于每个数字 num，将其在 last 列表中的出现次数减 1。然后，通过不断除以 10，将数字 num 的首位数字提取出来。
对于提取出来的首位数字，遍历其因数列表 factor[num]。对于每个因数 gcd_num，将其在 last 列表中的出现次数加到 count 变量中。
最后，返回 count 变量，即美丽数对的数量。