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前言
一、算法效率
1.1算法的复杂度概念
1.2复杂度的重要性
二、时间复杂度
2.1时间复杂度的概念
2.2大O的渐进表示法
2.3常见的时间复杂度例题计算
例题1
例题2
例题3
三、空间复杂度
3.1空间复杂度的概念
3.2大O的渐进表示法
3.3常见的空间复杂度例题计算
例题1
例题2
例题3
总结
前言
宝宝们，跟上bear的节奏继续进步！
今天我们学习的目标：
1.算法复杂度的理解
2.知道时间、空间复杂度的概念
3.学会使用大O表示法
4.计算常见复杂度例题
一、算法效率
1.1算法的复杂度概念
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源 。因此 衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的 ，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
1.2复杂度的重要性
出现在面试题就大抵可以知道复杂度在这里的重要性了。
最容易想到的思路：先给数组排序，然后判断前一个数+1是否等于后一个值。不等于则返回前一个数+1。排序的复杂度是qsort O（N*logN） 显然不符合。
解决思路1：我们通过等差数列的求和公式得到总值，然后依次减去数组中的每个值。就可以找到消失的数字。但是有风险，N的值可能过大导致溢出
//f法1 Nt太大可能会溢出
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
int N=numsSize;
int sum=(0+N)*(N+1)/2;
for(int i=0;i<N;i++)
{sum-=nums[i];
}
return sum;
}解决思路2：这题和我们做的单身狗问题很像，那我们应该怎么转换成单身狗问题呢？
单身狗是找只出现一次的数，所以我们就可以添加一组没有缺失数字的数组。然后就变成和单身狗一样的问题了。这里不需要考虑顺序异或的问题，排不排序结果都一样。
帮大家回顾一下异或：相同数字的异或为0，不同的为1。还有任何二进制数与0异或为二进制数本身，A ^ 0 = A 。
//法2 转成单身狗来做
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
int N=numsSize;
int ret=0;
for(int i=0;i<N;i++)
{ret^=nums[i];
}
for(int j=0;j<=N;j++)
{ret^=j;
}
return ret;
}二、时间复杂度
2.1时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。即：找到某条基本语句与问题规模 N 之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
2.2大O的渐进表示法
大 O 符号（ Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。推导大 O 阶方法：1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。
解释一下为什么只保留最高项呢，我们假设时间复杂度的函数是Fun（N）=N^2+3N+1，当N=1000时，Fun=1000000+3000+1=1003001几乎可以看作1000000。那就会有人说了，N的值很小时，那这样每个算法的执行时间都差不多的。所以我们只考虑N为很大的值时。
2.3常见的时间复杂度例题计算
例题1
看来前面时间复杂度的概念就知道了，其实就是看循环次数。第一个for循环里面应该是2 * N次
（因为是[0,2 * N - 1]这里用闭区间表示），再来数while循环里面的次数（M--）M次。
O(2 * N + 10)最后时间复杂度化简为O(2 * N)。
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}例题2
这里是冒泡排序的时间复杂度计算，冒泡排序本质就是相邻的两个数比较谁大谁放后面（这里默认是升序）。我们这里分两种情况讨论，最好和最坏情况。
最好情况：当数组已经排好序了，就只需要走一遍最外面的循环。所以时间复杂度为O(N)。
最坏情况：数组没有顺序时，第二层for循环也要走，一共N个数两两比较。最多要比较N-1次。
因为第二层的比较次数会随着第一层改变而改变。也就是N-1+N-2+.........+1根据最坏情况可知一共有N-1项，所以就可以使用等差数列求和公式来计算。（N -1）* (N-1+1)/2时间复杂度为O(N^2)
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}例题3
这里是递归的时间复杂度计算，先给上结论递归的时间复杂度计算是把每次递归里面循环次数相加。因为里面没有任何其他的循环语句所以就是一次，一共递归N次所以就是N个1相加。时间复杂度为O(N)。
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}三、空间复杂度
3.1空间复杂度的概念
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大 O 渐进表示法 。注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
3.2大O的渐进表示法
与时间复杂度的大O表示法大致一样。
3.3常见的空间复杂度例题计算
其实空间复杂度就是额外开辟空间的大小。
例题1
我们在函数里面找额外开辟的变量，发现有end、i、exchange三个额外变量。所以我们这里的空间复杂度是常数个，所以为O(1)。
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}例题2
这里我们发下先他新创建了一个指针（等价于数组），我们默认新创建的数组复杂度为N，还有一共变量i，O(N+1)空间复杂度化简为O(N)。
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)return NULL;long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}例题3
这里是递归的空间复杂度计算，还是和时间复杂度计算一样的。把每次调用相加起来，我们调用函数都会开辟一个新的栈帧，我们一共要调用N次所以空间复杂度为O(N)。
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}总结
学习复杂度是为了让我们在解决一些问题会有多种想法，通过计算复杂度来选择最优的思路。复杂度分析对于设计和评估算法的效率非常重要。通常我们希望设计出时间复杂度和空间复杂度都尽可能低的算法,以提高算法的性能和适用性。复杂度分析是算法设计和分析的核心内容之一。
