【高阶数据结构】图的应用--最短路径算法

文章目录

    • 一、最短路径
    • 二、单源最短路径--Dijkstra算法
    • 三、单源最短路径--Bellman-Ford算法
    • 四、多源最短路径--Floyd-Warshall算法

一、最短路径

最短路径问题：从在带权有向图G中的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小。

二、单源最短路径–Dijkstra算法

单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图中每个结点v ∈ V v∈Vv∈V的最短路径。Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题，同时算法要求图中所有边的权重非负。一般在求解最短路径的时候都是已知一个起点和一个终点，所以使用Dijkstra算法求解过后也就得到了所需起点到终点的最短路径。

针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时为空（初始时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径的结点集合，每次从Q 中找出一个起点到该结点代价最小的结点u ，将u 从Q 中移出，并放入S 中，对u 的每一个相邻结点v 进行松弛操作。松弛即对每一个相邻结点v ，判断源节点s到结点u 的代价与u 到v 的代价之和是否比原来s 到v 的代价更小，若代价比原来小则要将s 到v 的代价更新为s 到u 与u 到v 的代价之和，否则维持原样。如此一直循环直至集合Q 为空，即所有节点都已经查找过一遍并确定了最短路径，至于一些起点到达不了的结点在算法循环后其代价仍为初始设定的值，不发生变化。Dijkstra算法每次都是选择V-S中最小的路径节点来进行更新，并加入S中，所以该算法使用的是贪心策略。

Dijkstra算法存在的问题是不支持图中带负权路径，如果带有负权路径，则可能会找不到一些路径的最短路径。

在这里插入图片描述

代码实现：

// 临接矩阵
namespace Matrix
{template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;private:std::vector<V> _vertexs;             // 顶点集合std::map<V, size_t> _vIndexMap;      // 顶点的下标映射关系std::vector<std::vector<W>> _matrix; // 存储边集合的矩阵void PrintShortPath(const V &src, const std::vector<W> &dist, const std::vector<int> &pPath){size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t n = _vertexs.size();for (size_t i = 0; i < n; ++i){if (i != srci){// 找出i顶点的路径std::vector<int> path;size_t parenti = i;while (parenti != srci){path.push_back(parenti);parenti = pPath[parenti];}path.push_back(srci);reverse(path.begin(), path.end());for (auto index : path){std::cout << _vertexs[index] << "->";}std::cout << "权值和：" << dist[i] << std::endl;}}}// 顶点个数是N  -> 时间复杂度：O（N^2）空间复杂度：O（N）void Dijkstra(const V &src, std::vector<W> &dist, std::vector<int> &pPath){size_t srci = GetVertexIndex(src);int n = _vertexs.size();dist.resize(n, MAX_W);pPath.resize(n, -1);dist[srci] = 0;pPath[srci] = srci;// 已经确定最短路径的顶点集合std::vector<bool> S(n, false);// n个节点每个节点都要作为起点for (int i = 0; i < n; i++){// 选最短路径顶点且不在S更新其他路径int u = 0;W min = MAX_W;for (int j = 0; j < n; j++){if (S[i] == false && dist[i] < min){u = i;min = dist[i];}}S[u] = true;// 松弛更新u连接顶点v  srci->u + u->v <  srci->v  更新for (int v = 0; v < n; v++){if (S[v] == false && _matrix[u][v] != MAX_W && dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v]){dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v];pPath[v] = u;}}}}};
}

测试代码：

void TestGraphDijkstra()
{const char *str = "syztx";Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));g.AddEdge('s', 't', 10);g.AddEdge('s', 'y', 5);g.AddEdge('y', 't', 3);g.AddEdge('y', 'x', 9);g.AddEdge('y', 'z', 2);g.AddEdge('z', 's', 7);g.AddEdge('z', 'x', 6);g.AddEdge('t', 'y', 2);g.AddEdge('t', 'x', 1);g.AddEdge('x', 'z', 4);std::vector<int> dist;std::vector<int> parentPath;g.Dijkstra('s', dist, parentPath);g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);// // 图中带有负权路径时，贪心策略则失效了。// // 测试结果可以看到s->t->y之间的最短路径没更新出来// const char *str = "sytx";// Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));// g.AddEdge('s', 't', 10);// g.AddEdge('s', 'y', 5);// g.AddEdge('t', 'y', -7);// g.AddEdge('y', 'x', 3);// std::vector<int> dist;// std::vector<int> parentPath;// g.Dijkstra('s', dist, parentPath);// g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
}

三、单源最短路径–Bellman-Ford算法

Dijkstra算法只能用来解决正权图的单源最短路径问题，但有些题目会出现负权图。这时这个算法就不能帮助我们解决问题了，而bellman—ford算法可以解决负权图的单源最短路径问题。它的优点是可以解决有负权边的单源最短路径问题，而且可以用来判断是否有负权回路。它也有明显的缺点，它的时间复杂度 O(NE) (N是点数，E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里如果我们使用邻接矩阵实现，那么遍历所有边的数量的时间复杂度就是O(N^3)，这里也可以看出来Bellman-Ford就是一种暴力求解更新。

在这里插入图片描述

代码实现：

// 临接矩阵
namespace Matrix
{template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;private:std::vector<V> _vertexs;             // 顶点集合std::map<V, size_t> _vIndexMap;      // 顶点的下标映射关系std::vector<std::vector<W>> _matrix; // 存储边集合的矩阵void PrintShortPath(const V &src, const std::vector<W> &dist, const std::vector<int> &pPath){size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t n = _vertexs.size();for (size_t i = 0; i < n; ++i){if (i != srci){// 找出i顶点的路径std::vector<int> path;size_t parenti = i;while (parenti != srci){path.push_back(parenti);parenti = pPath[parenti];}path.push_back(srci);reverse(path.begin(), path.end());for (auto index : path){std::cout << _vertexs[index] << "->";}std::cout << "权值和：" << dist[i] << std::endl;}}}// 时间复杂度：O(N^3) 空间复杂度：O（N）bool BellmanFord(const V &src, std::vector<W> &dist, std::vector<int> &pPath){size_t n = _vertexs.size();size_t srci = GetVertexIndex(src);// vector<W> dist,记录srci-其他顶点最短路径权值数组dist.resize(n, MAX_W);// vector<int> pPath 记录srci-其他顶点最短路径父顶点数组pPath.resize(n, -1);// 先更新srci->srci为缺省值dist[srci] = W();// 总体最多更新n轮for (int k = 0; k < n; k++){bool update = false;std::cout << "更新第:" << k << "轮" << std::endl;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){// srci -> i i -> jif (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]){update = true;std::cout << _vertexs[i] << "->" << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << std::endl;dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];pPath[j] = i;}}}// 如果这个轮次中没有更新出更短路径，那么后续轮次就不需要再走了if (update == false)break;}// 还能更新就是带负权回路for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]){return false;}}}return true;}};
}

测试代码：

void TestGraphBellmanFord()
{// const char *str = "syztx";// Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));// g.AddEdge('s', 't', 6);// g.AddEdge('s', 'y', 7);// g.AddEdge('y', 'z', 9);// g.AddEdge('y', 'x', -3);// g.AddEdge('z', 's', 2);// g.AddEdge('z', 'x', 7);// g.AddEdge('t', 'x', 5);// g.AddEdge('t', 'y', 8);// g.AddEdge('t', 'z', -4);// g.AddEdge('x', 't', -2);// std::vector<int> dist;// std::vector<int> parentPath;// g.BellmanFord('s', dist, parentPath);// g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);// 微调图结构，带有负权回路的测试const char *str = "syztx";Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));g.AddEdge('s', 't', 6);g.AddEdge('s', 'y', 7);g.AddEdge('y', 'x', -3);g.AddEdge('y', 'z', 9);g.AddEdge('y', 'x', -3);g.AddEdge('y', 's', 1); // 新增g.AddEdge('z', 's', 2);g.AddEdge('z', 'x', 7);g.AddEdge('t', 'x', 5);g.AddEdge('t', 'y', -8); // 更改g.AddEdge('t', 'z', -4);g.AddEdge('x', 't', -2);std::vector<int> dist;std::vector<int> parentPath;if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath))g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);elsestd::cout << "带负权回路" << std::endl;
}

四、多源最短路径–Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。

Floyd算法考虑的是一条最短路径的中间节点，即简单路径p={v1,v2,…,vn}上除v1和vn的任意节点。

设k是p的一个中间节点，那么从i到j的最短路径p就被分成i到k和k到j的两段最短路径p1，p2。p1是从i到k且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。p2是从k到j且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

即Floyd算法本质是三维动态规划，D[i][j][k]表示从点i到点j只经过0到k个点最短路径，然后建立起转移方程，然后通过空间优化，优化掉最后一维度，变成一个最短路径的迭代算法，最后即得到所以点的最短路。

在这里插入图片描述

代码实现：

// 临接矩阵
namespace Matrix
{template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;private:std::vector<V> _vertexs;             // 顶点集合std::map<V, size_t> _vIndexMap;      // 顶点的下标映射关系std::vector<std::vector<W>> _matrix; // 存储边集合的矩阵void PrintShortPath(const V &src, const std::vector<W> &dist, const std::vector<int> &pPath){size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t n = _vertexs.size();for (size_t i = 0; i < n; ++i){if (i != srci){// 找出i顶点的路径std::vector<int> path;size_t parenti = i;while (parenti != srci){path.push_back(parenti);parenti = pPath[parenti];}path.push_back(srci);reverse(path.begin(), path.end());for (auto index : path){std::cout << _vertexs[index] << "->";}std::cout << "权值和：" << dist[i] << std::endl;}}}void FloydWarshall(std::vector<std::vector<W>> &vvDist, std::vector<std::vector<int>> &vvpPath){size_t n = _vertexs.size();vvDist.resize(n);vvpPath.resize(n);// 初始化权值和路径矩阵for (int i = 0; i < n; i++){vvDist[i].resize(n, MAX_W);vvpPath[i].resize(n, -1);}for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){if (_matrix[i][j] != MAX_W){vvDist[i][j] = _matrix[i][j];vvpPath[i][j] = i;}if (i == j){vvDist[i][j] = W();}}}// abcdef  a {} f ||  b {} c// 最短路径的更新i-> {其他顶点} ->jfor (int k = 0; k < n; k++){for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){// i -> j  i -> k  + k -> j// k 作为的中间点尝试去更新i->j的路径if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W && vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j]){vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];// 找跟j相连的上一个邻接顶点// 如果k->j 直接相连，上一个点就k，vvpPath[k][j]存就是k// 如果k->j 没有直接相连，k->...->x->j，vvpPath[k][j]存就是xvvpPath[i][j] = vvpPath[k][j];}}}}// 打印权值和路径矩阵观察数据for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){if (vvDist[i][j] == MAX_W){printf("%3c", '*');}else{printf("%3d", vvDist[i][j]);}}std::cout << std::endl;}std::cout << std::endl;for (size_t i = 0; i < n; ++i){for (size_t j = 0; j < n; ++j){printf("%3d", vvpPath[i][j]);}std::cout << std::endl;}std::cout << "=================================" << std::endl;}};
}

测试代码：

void TestFloydWarShall()
{const char *str = "12345";Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));g.AddEdge('1', '2', 3);g.AddEdge('1', '3', 8);g.AddEdge('1', '5', -4);g.AddEdge('2', '4', 1);g.AddEdge('2', '5', 7);g.AddEdge('3', '2', 4);g.AddEdge('4', '1', 2);g.AddEdge('4', '3', -5);g.AddEdge('5', '4', 6);std::vector<std::vector<int>> vvDist;std::vector<std::vector<int>> vvParentPath;g.FloydWarshall(vvDist, vvParentPath);// 打印任意两点之间的最短路径for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i){g.PrintShortPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]);}
}

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.rhkb.cn/news/368823.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com，一经查实，立即删除！

相关文章

图像信号处理器（ISP）基础算法及处理流程

图像信号处理器（ISP）基础算法及处理流程

&#x1f4aa; 专业从事且热爱图像处理&#xff0c;图像处理专栏更新如下&#x1f447;&#xff1a; &#x1f4dd;《图像去噪》 &#x1f4dd;《超分辨率重建》 &#x1f4dd;《语义分割》 &#x1f4dd;《风格迁移》 &#x1f4dd;《目标检测》 &#x1f4dd;《暗光增强》 &a…
阅读更多...
找不到msvcp120.dll无法继续执行的原因分析及解决方法

找不到msvcp120.dll无法继续执行的原因分析及解决方法

在计算机使用中&#xff0c;经常会遇到msvcp120.dll文件丢失的情况&#xff0c;很多人对这个文件不是很熟悉&#xff0c;今天就来给大家讲解一下msvcp120.dll文件的丢失以及这个文件的重要性&#xff0c;让大家更好地了解计算机&#xff0c;同时也可以帮助我们更好地掌握这个文…
阅读更多...
SpringMVC 的工作流程和详细解释

SpringMVC 的工作流程和详细解释

Spring MVC&#xff08;Model-View-Controller&#xff09;框架是基于经典的 MVC 设计模式构建的&#xff0c;用于开发 Web 应用程序。下面是 Spring Boot MVC 的工作流程和详细解释&#xff1a; 1.客户端发起请求 1.客户端&#xff08;通常是浏览器&#xff09;发起 HTTP 请求…
阅读更多...
技术周总结 2024.06.24~06.30(Python并发执行shell并发执行 Spring Bean)

技术周总结 2024.06.24~06.30(Python并发执行shell并发执行 Spring Bean)

文章目录 一、 06.26 周三1.1&#xff09;问题01&#xff1a;怎么在mysql的命令行中查询出来 python能使用的元祖结果集1.2&#xff09;问题02&#xff1a;python中 set()是什么&#xff0c;怎么使用 二、06.27 周四2.1&#xff09;问题01&#xff1a;shell 并发执行2.2&#x…
阅读更多...
MySQL表的练习

MySQL表的练习

二、创建表 1、创建一个名称为db_system的数据库 create database db_system; 2、在该数据库下创建两张表&#xff0c;具体要求如下 员工表 user 字段 类型 约束 备注 id 整形 主键&#xff0c;自增长 id N…
阅读更多...
第二十条：与抽象类相比，优先选择接口

第二十条：与抽象类相比，优先选择接口

要定义多种实现的类型&#xff1a;JAVA有两种机制&#xff1a;接口和抽象类。这两种机制都支持为某些实例方法提供实现&#xff0c;但二者有个重要的区别&#xff1a;要实现由抽象类定义的类型&#xff0c;这个类必须是抽象类的子类。因为Java只允许单继承&#xff0c;对抽象类…
阅读更多...
盘点几款国产AI高效神器！打工人赶紧码住

盘点几款国产AI高效神器！打工人赶紧码住

在这个AI技术飞速发展的时代&#xff0c;国产AI工具正成为提升工作效率的得力助手。作为AI工具测评博主&#xff0c;米兔有幸体验了多款国产AI工具&#xff0c;今天要向大家介绍几款超级好用的AI工具。这些工具不仅功能强大&#xff0c;而且操作简便&#xff0c;是职场人士不可…
阅读更多...
Jemeter--独立变参接口压测

Jemeter--独立变参接口压测

Jemeter–独立不变参接口压测 Jemeter–独立变参接口压测 Jemeter–关联接口压测 从数据库获取变参数据源 1、压测计划处添加对应数据库驱动包 左键点击压测计划&#xff0c;进入压测计划页面&#xff0c;点击浏览添加数据库链接jar包 2、线程组添加 JDBC配置原件 填写数据…
阅读更多...
代码随想录算法训练营第2天|LeetCode977，209，59

代码随想录算法训练营第2天|LeetCode977，209，59

977.有序数组平方 题目链接&#xff1a; 977. 有序数组的平方 - 力扣&#xff08;LeetCode&#xff09; 文章讲解&#xff1a;代码随想录 视频讲解&#xff1a; 双指针法经典题目 | LeetCode&#xff1a;977.有序数组的平方_哔哩哔哩_bilibili 第一想法 暴力算法肯定是先将元素…
阅读更多...
vienna整流器过零畸变原因分析

vienna整流器过零畸变原因分析

Vienna整流器是一种常见的三电平功率因数校正&#xff08;PFC&#xff09;整流器&#xff0c;广泛应用于电源和电能质量控制领域。由于其高效率、高功率密度和低谐波失真的特点&#xff0c;Vienna整流器在工业和电力电子应用中具有重要地位。然而&#xff0c;在实际应用中&…
阅读更多...
初阶数据结构之二叉树

初阶数据结构之二叉树

那么本篇文是初阶数据结构这个系列的最后一篇文章&#xff0c;那么闲话少叙&#xff0c;我们直接进入正题 在讲二叉树的一些之前知识点之前&#xff0c;我先给大家送个小礼物哈 手搓二叉树 typedef int BTDataType ; typedef struct BinaryTreeNode { BTDataType _data …
阅读更多...
公用对象池

公用对象池

什么是对象池&#xff1f; 对象池顾名思义就是存放对象的池子&#xff0c;主要是为了重复利用对象。将不用的对象扔进池子里&#xff0c;需要用的时候再从池子中取出来。这样的一套机制我们称为对象池。 为什么用对象池&#xff1f; 其实从定义我们就可以看出来&#xff0c;…
阅读更多...
AI免费英语学习在线工具：Pi；gpt；其他大模型AI 英语学习智能体工具

AI免费英语学习在线工具：Pi；gpt；其他大模型AI 英语学习智能体工具

1、pi(强烈推荐&#xff1a;可以安卓下载使用) https://pi.ai/talk &#xff08;网络国内使用方便&#xff09; 支持实时聊天与语音对话 2、chatgpt&#xff08;强烈推荐&#xff1a;可以安卓下载使用) https://chat.openai.com/ &#xff08;网络国内使用不方便&#xf…
阅读更多...
2024年显著性检测部分论文及代码汇总（3）

2024年显著性检测部分论文及代码汇总（3）

ICML Size-invariance Matters: Rethinking Metrics and Losses for Imbalanced Multi-object Salient Object Detection code Abstacrt&#xff1a;本文探讨了显著性检测中评价指标的尺寸不变性&#xff0c;尤其是当图像中存在多个大小不同的目标时。作者观察到&#xff0c;…
阅读更多...
【server】3、注册中心与配置中心

【server】3、注册中心与配置中心

1、服务注册与发现 1.1、consul 1.1.1 是什么 官网&#xff1a; Consul by HashiCorp spring-cloud-consul: Spring Cloud Consul :: Spring Cloud Consul gitHub 官网 &#xff1a;GitHub - hashicorp/consul: Consul is a distributed, highly available, and data cent…
阅读更多...
如何在操作使用ufw设置防火墙

如何在操作使用ufw设置防火墙

UFW&#xff08;简单防火墙&#xff09;是用于管理iptables防火墙规则的用户友好型前端。它的主要目标是使iptables的管理更容易。 在学习Linux的时候大家一般都会关心命令&#xff0c;Posix API和桌面等&#xff0c;很少会去了解防护墙。其实除了一些网络安全厂商提供的付费防…
阅读更多...
【设计模式】设计模式学习线路与总结

【设计模式】设计模式学习线路与总结

文章目录 一. 设计原则与思想二. 设计模式与范式三. 设计模式进阶四. 项目实战 设计模式主要是为了改善代码质量&#xff0c;对代码的重用、解耦以及重构给了最佳实践&#xff0c;如下图是我们在掌握设计模式过程中需要掌握和思考的内容概览。 一. 设计原则与思想 面向对象编…
阅读更多...
修改头文件版本需要修改的文件

修改头文件版本需要修改的文件

以修改ui的头文件版本为例&#xff0c;还需要同时更新 PJ10PC20240120041_c928\components\master-t5\hikauto\module\app\include PJ10PC20240120041_c928\components\master-t5\hikauto\module\app\include\dsp PJ10PC20240120041_c928\components\master-t5\hikauto\incl…
阅读更多...
classin视频下载提取为mp4教程

classin视频下载提取为mp4教程

最近在上classin网课&#xff0c;无奈网课视频要过期了&#xff0c;所以想保存下来&#xff01; 下面介绍提取的教程 我们可以绕过最开始的握手&#xff0c;就是先播放了一段时间后&#xff0c;再打开抓包&#xff0c;回到Classin播放后&#xff0c;就可以获得网课链接了 直接打…
阅读更多...
Git安装以及环境配置（详细）

Git安装以及环境配置（详细）

一、Git下载 1.官网&#xff08;但是很慢&#xff09; https://git-scm.com/ 2.镜像版&#xff08;比较推荐&#xff09; CNPM Binaries Mirror 里边多个选择合适的进行下载&#xff08;不要选带有rc0,rc1的&#xff0c;都是预发布版本&#xff09; 进入后如下&#xff0c…
阅读更多...
最新文章
推荐文章

Copyright @ 2022~2023