目录
概述
1 集合定义
1.1 基本定义
1.2 元素和集合的关系表述
1.3 集合分类
1.4 集合描述
1.5 集合关系描述
2 集合的运算
2.1 集合关系的定义
2.2 集合的运算
概述
在高等数学中，集合是指由一些具有共同特征的对象组成的整体。这些对象可以是数字、字母、符号或其他数学对象。集合的概念是数学中的基础概念之一，并贯穿于各个分支和领域。本文主要介绍集合的定义以及其分类，重点介绍了集合的运算法则。
1 集合定义
1.1 基本定义
集合定义
集合：是指某种特定性质的事物的总体
集合的表示： 用大写字母A,B,C,D...
集合中的元素：
定义： 组成这个集合的事物
元素表示方法： 用小写字母a,b,c...
1.2 元素和集合的关系表述
a是集合A的元素，用数学符号表示为：
a不是集合A的元素，用数学符号表示为：
1.3 集合分类
有限集合：
概念：
一个集合包含有限个元素
无限集合：
概念： 一个集合包含无限个元素
1.4 集合描述
1） 列举法：
2）描述法：一个实例
集合M是由具有某种性质P的所有元素x组成，这句话可以这样理解：
1） M是一个集合
2）组成M集合的元素具备P特性
3）P包含这种特性的所有元素x
用数学方法表述如下：
M = { x|x 具有P的属性}
一个实例：
集合B是方程：
的解集，则集合B可以用如下方法表示:
数字集合的描述，对于集合N：
1) ： 不包含0元素的自然数集合 {...,-2,-1,1,2,3...}
2）： 不包含0元素和负数的自然数集合{1,2,3,....}
3）：全体负数自然数集合{...,-3,-2,-1}
4）Z: 全体整数集合
5）Q： 全体有理数集合
,同时 p与q满足互质条件
6）全体实数集合R, 表示非零实数集合，
表示正实数集合
补充知识：
1）有理数： 整数和分数
2）无理数：无限不循环小数，叫做无理数． 注意，无理数应满足三个条件：
① 小数
② 无限小数；
③不循环．
3）自然数：没有负数的整数，即0和正整数
4）整数： 能被1整除的数
5）实数：有理数和无理数
1.5 集合关系描述
A、B为两个集合：
1）: B包含集合A内的所有元素，集合A是集合B的子集
2）: 集合A包含集合B内的所有元素，同时集合B也包含集合B内的所有元素
3），但是
，此时集合A为集合B的真子集
4）：空集，不包含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，对于非空集合A:
2 集合的运算
集合之间的运算关系包括： 并集，交集和差集
2.1 集合关系的定义
并集的概念：
对于两个集合A、B，由所有属于A的元素或者属于B的元素组成的新的集合C， 此时集合C被称为集合A和集合B的并集。数学表述关系如下：
交集的感念：
由所有同时属于集合A和集合B组成的新的集合C，集合C被称为集合A和集合B的交集。数学表述如下：
差集的概念：
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合C，集合C被称为A与B的差集。数学表述关系如下：
全集的概念：
所有的其他集合（A、B、C、...）都是集合I的子集，此时的集合I被称之为全集/基本集
补集/余集的概念：
集合A是集合I的子集，I是全集。集合B:
B = I \ A
集合B： 集合A的补集，补集的数学表述方法：
举个例子：
在实数集合R中， A = { x | 0 < x <= 1}, 集合A的 补集/余集可以表示为：
2.2 集合的运算
集合的运行法则：
假设有A、C、B 3个任意的集合，3个集合会满足如下4个法则：
对偶律的证明方法：
有两个集合A、B，C为集合A和集合B的交集
证明方法如下：
2.3 直积或笛卡尔乘积
设有两个任意集合A和B，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，这两个元素一起组成一个新的有序数对 m =（x,y）, 把这些有效数对组成一个新的集合C，这个集合C就被称为集合A和集合B的直积，数学表达式如下：
一个实例：
存在一个集合R，集合R的直积可以用如下关系式表达：
=
