浮点数的二进制表示

       浮点数在C/C++中对应 float 和 double 类型，我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储方式。

IEEE754规定：

       单精度浮点数字长32位，尾数长度23，指数长度8,指数偏移量127；双精度浮点数字长64位，尾数长度52，指数长度11，指数偏移量1023；约定小数点左边隐含有一位，通常这位数是1，所以上述单精度尾数长度实际为24(默认省略小数点左边的1则为23)，双精度尾数长度实际为53（默认省略小数点左边的1则为53）。

知识点一：

IEEE754 单精度(32位)的二进制排列规则：符号位S(1位，0为正数，1为负数) + 阶码E(8位)  + 尾数M(23位)。

IEEE754 双精度(64位)的二进制排列规则：符号位S(1位，0为正数，1为负数) + 阶码E(11位)  + 尾数M(52位)。

知识点二：

单精度的偏置常数为127(固定值)，阶码 = 127 + 阶（左移为正数，右移为负数）。

双精度的偏置常数为1023(固定值)，阶码 = 1023 + 阶（左移为正数，右移为负数）。

一、float 单精度浮点数

        IEEE754 标准中规定 float 单精度浮点数在机器中用32位表示，其中用 1 位表示数字的符号，用 8 位来表示指数，用23 位来表示尾数，即小数部分。

一个由IEEE745制的32位浮点数由三部分组成

组成部分	位数	含义
符号位	1位	0为正，1为负
指数位	2~9位	类比十进制的科学计数法，此处以2为底，指数位为幂。注意还需要加上127的偏移量
尾数位	10~32位	省略了1. 实际为1.(尾数位）,类似小数的二进制写法

核心逻辑：

 这种设计允许浮点数以不同的精度级别覆盖广泛的值。用于这种表示的公式是：

二、double 双精度浮点数

       对于 double 双精度浮点数在机器中用64位表示，其中，用 1 位表示符号，用 11 位表示指数，52 位表示尾数，其中指数域称为阶码。

       在各种数据类型中，浮点数能够以高精度表示各种值。通常，浮点数使用n位来存储数值。这些 n 位 进一步分为三个不同的组成部分：

• 符号：符号位指示数字的正数或负数。它使用一位，其中 0 表示正数，1 表示负数。
• 指数：指数是一段位，表示基数（在二进制表示中通常为 2）的幂。指数也可以是正数或负数，允许数字表示非常大或非常小的值。
• 有效数/尾数：剩余位用于存储有效数，也称为尾数。这代表数字的有效数字，表示精确度。数字的精度在很大程度上取决于有效数字的长度。

• float 类型可以表示正零值和负零值
• mantissa从左到右第N位表示2-N，例如1.5的二进制表示。

int64与相等float64的二进制关联

二进制	数值
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0010 1011	555
0100 0000 1000 0001 0101 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000	555.0

       int64 最高非零位以后的二进制位 === float64 mantissa，所以float64可以不损失精度表示的最大 int64 范围是-253 ~ 253，253+1就没法表示了。然而，诸如253+2一类的 int64 仍然可以不损失精度地用 float64 表示。

例1：将十进制数 33.758 转换为IEEE754的单精度浮点数格式表示

步骤①：将整数部分整除以2，取余数部分倒序排列

       33 / 2 = 16   余数为1

       16 / 2 = 8     余数为0

         8 / 2   = 4    余数为0  

         4 / 2  = 2     余数为0

         2 / 2 = 1      余数为0

         1 / 2 = 0       余数为1

      得到整数部分二进制为 1000 01

步骤②：将小数部分乘以2，取商的整数部分正序排列

（ 一直乘 2 ，遇到 1 退出；如果乘 2 之后的数字大于 1，则减去 1 ）

     0.758 * 2 = 1.516   取商的整数部分1    1.516 - 1 = 0.516      

     0.516 * 2 = 1.032   取商的整数部分1    1.032 - 1 = 0.032       

     0.032 * 2 = 0.064    取商的整数部分0

     0.064 * 2 = 0.128    取商的整数部分0

     0.128 * 2 = 0.256    取商的整数部分0

     0.256 * 2 = 0.512    取商的整数部分0 

     0.512 * 2 = 1.024    取商的整数部分1   1.024 - 1 = 0.024

     0.024 * 2 = 0.048    取商的整数部分0

     0.048 * 2 = 0.096    取商的整数部分0

     0.096 * 2 = 0.192    取商的整数部分0

    0.096 * 2  = 0.384    取商的整数部分0

    0.384 * 2 = 0.768     取商的整数部分0

    0.768 * 2 = 1.536     取商的整数部分1   1.536 - 1 = 0.536

    0.536 * 2 = 1.072     取商的整数部分1   1.072 - 1 = 0.072

    0.072 * 2 = 0.144     取商的整数部分0

    0.144 * 2 = 0.288     取商的整数部分0

    0.288 * 2 = 0.576     取商的整数部分0

    0.576 * 2 = 1.152     取商的整数部分1    1.152 - 1 = 0.152

    0.152 * 2 = 0.304     取商的整数部分0

       尾数可以取23位，但因小数点后第一位"1"不显式地表示出来，这样可用23位来表示24位尾数，因前面整数已经占6位，则小数部分只能取18位，即1100 0010 0000 1100 01

故33.758转换为二进制为：1000 01.1100 0010 0000 1100 01

步骤③：小数点向左移，直到整数部分为1，即1.00001110000100000110001 * 2 ^ 5

      至此得到阶为5，阶码 = 5 + 127 = 132   转换成二进制为1000 0100，即阶码E = 1000 0100，尾数M为1.后面的数，即：0000 1110 0001 0000 0110 001    

步骤④：根据数值的正负定义符号位

     33.758 > 0 所以符号位S为0

步骤⑤：根据知识点一进行数值组装

得到IEEE754的单精度浮点数格式为

符号位S(1位，0为正数，1为负数)   +     阶码E(8位)   +       尾数M(23位)

                              0                              1000 0100              0000 1110 0001 0000 0110 001

例2：将用IEEE754二进制表示的32位浮点数转成它所表示的十进制数

参考：

IEEE754介绍

IEEE754解析方法

关于IEEE754单精度(32位)的计算步骤(超详细)_ieee754标准计算公式-CSDN博客

模型量化2：最常用的数据类型：float32 (FP32)、float16 (FP16) 、 bfloat16 (BF16)【IEEE754制32位浮点数转换为十进制】-CSDN博客

十进制转二进制定点小数MATLAB代码_matlab如何把十进制转为位数可控的二进制小数-CSDN博客