2024华数杯数学建模竞赛选题建议+初步分析

提示：DS C君认为的难度：C<A<B，开放度：A<B<C。

综合评价来看

· A题适合对机械臂和机器人运动学感兴趣的同学，尤其是有一定编程和优化算法基础的同学。不建议非相关专业同学选择。

· B题挑战较大，适合有EDA和VLSI设计基础的同学，适合对集成电路设计和算法优化有浓厚兴趣的同学。

· C题涉及数据处理和综合评价，适合喜欢数据分析和路径规划的同学，对多因素优化有兴趣的同学可以选择。推荐大部分同学进行选择

以下为ABC题选题建议及初步分析：

A题：机械臂关节角路径的优化设计

这道题目涉及到机械臂的运动学与动力学建模、路径规划以及能耗优化，是物理类题目。通过对机械臂的六个自由度关节进行优化，目标是最小化末端误差和能耗，并在一些复杂任务（如绕过障碍物）中进行路径规划和优化设计。

这道题需要深入理解机械臂的运动学和动力学，涉及非线性优化问题，还需要考虑多目标优化（末端误差和能耗），对数学建模和算法实现要求较高。

题目设定了较为具体的参数和限制，任务目标明确，但在优化方法和路径规划上具有一定的自由度。

可以使用的算法有：

· 非线性优化算法

· 遗传算法或粒子群优化算法

· 动力学仿真和路径规划算法

题目背景与简单分析：

机械臂关节角路径的优化设计题目要求针对六自由度机械臂进行路径优化，以最小化末端误差和能耗为目标。六自由度机械臂广泛应用于工业自动化和精密操作，其关节角路径的优化直接影响机械臂的精度和能效。这道题目主要解决以下几个问题：绘制六自由度机械臂的零位状态简图，建立机械臂运动数学模型，优化关节角路径以最小化末端误差和能耗，设计绕过障碍物的最优路径，以及处理多次货物抓取任务的路径优化。

建模过程

绘制机械臂零位状态简图：根据题目提供的Denavit-Hartenberg（D-H）参数，绘制六自由度机械臂的初始位置图。D-H参数包括关节的初始位置和角度等，用于定义机械臂的几何结构。
建立机械臂运动数学模型：根据D-H参数和机械臂的几何结构，建立机械臂的正运动学模型，计算各关节角度变化对机械臂末端位置的影响。同时，建立逆运动学模型，用于计算给定末端位置下所需的关节角度。
优化关节角路径：目标是最小化末端误差和能耗。末端误差是指机械臂末端位置与目标位置之间的偏差，能耗包括关节转动和机械臂克服重力势能所做的功。构建目标函数，将末端误差和能耗作为优化目标，应用非线性优化算法进行路径优化。
绕过障碍物的路径优化：在已有模型基础上，引入障碍物约束，设计最优底座移动路径和关节角路径。使用栅格地图表示障碍物和自由空间，应用路径规划算法（如A*算法）计算最优路径。
多次货物抓取任务的路径优化：处理多个任务点的路径优化问题，结合末端误差和能耗优化目标，设计出最优的路径规划方案。

推荐算法

非线性优化算法：如梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等，用于解决关节角路径优化中的非线性优化问题。这些算法能够高效地找到最优解，最小化末端误差和能耗。
遗传算法（GA）：适用于复杂的多目标优化问题。遗传算法通过模拟自然选择过程，迭代优化机械臂的路径，找到使末端误差和能耗最小化的解。
粒子群优化算法（PSO）：一种全局优化算法，通过模拟鸟群觅食行为，找到全局最优路径。粒子群优化算法特别适用于多维空间的优化问题，在机械臂路径优化中表现出色。
A*算法：用于路径规划和绕过障碍物问题。A*算法通过启发式搜索，找到从起点到目标点的最优路径，适用于栅格地图中的路径规划。
逆运动学算法：如Jacobian逆矩阵法，用于计算机械臂末端位置对应的关节角度，确保路径优化过程中关节角度的合理性。

B题：VLSI电路单元的自动布局

这道题目主要是解决超大规模集成电路（VLSI）设计中的全局布局问题，目标是最小化电路单元之间的总连接线长，同时满足单元密度约束。涉及到HPWL（半周长线长）和RSMT（直线型斯坦纳最小树）两种线长估计方法。

VLSI布局是一个NP难问题，涉及复杂的优化和计算，需要掌握EDA工具的原理，并具备较强的算法设计和编程能力。

适合电子工程、电气自动化、集成电路设计与集成系统等专业的同学选择。

题目提供了较为详细的输入输出要求，但在具体算法实现和优化方法上有较大的自由度。

可以使用以下的方法：

· 线长估计模型（HPWL和RSMT）

· 全局布局和详细布局算法

· 密度计算和优化算法

题目背景与简单分析：

VLSI电路单元的自动布局问题是电子设计自动化（EDA）中的一个核心问题。随着集成电路设计复杂度的增加，自动布局已成为实现高效VLSI设计的关键。题目要求在矩形布局区域内确定所有电路单元的位置，以最小化单元之间的总连接线长，同时满足单元密度约束。这个问题分为全局布局和详细布局两个步骤。全局布局大致确定电路单元的位置，允许单元重叠；详细布局则消除重叠并进一步优化。题目还涉及半周长线长（HPWL）和直线型斯坦纳最小树（RSMT）两种线长估计方法。

建模过程

线长评估模型：利用题目提供的信息，设计一个与电路单元连线接口坐标相关的线长评估模型。该模型应满足：（1）每组估计线长与对应RSMT的差值尽可能小；（2）能应用于评估附件1中的总连接线长。通过分析电路单元之间的连线接口坐标，计算HPWL和RSMT线长，比较两者的差异，调整模型参数以提高估计精度。
网格密度评估模型：根据布局区域的尺寸、网格划分粒度和密度阈值，设计一个与电路单元坐标相关的网格密度评估模型。将布局区域划分为若干网格，计算每个网格的单元密度，确保其不超过特定阈值。结合线长评估模型，建立一个数学模型，以最小化总连接线长为目标，同时满足单元密度约束。
全局布局优化：应用上述模型完成全局布局，输出总连接线长（HPWL），并可视化结果（电路单元的位置）。使用优化算法在满足密度约束的前提下，调整电路单元的位置，最小化总连接线长。
布线密度模型改进：分析现有网格布线密度计算模型的问题，提出改进方案。应用改进后的布线密度模型，计算更新后的全局布局结果的布线密度，并对结果进行可视化。
综合优化模型：在全局布局和布线密度模型的基础上，修正数学模型，综合考虑最小化总连接线长和满足单元密度约束的同时，使网格布线密度的最大值越小。应用修正后的模型完成全局布局，输出总连接线长和网格布线密度，并进行可视化展示。

推荐算法

模拟退火算法：用于全局布局优化。模拟退火算法通过模拟物理退火过程，在初始高温状态下接受次优解，逐步降低温度，找到全局最优解。适用于大规模优化问题，能够有效避免陷入局部最优。
遗传算法（GA）：适用于复杂优化问题。遗传算法通过模拟自然选择和遗传变异过程，迭代优化电路单元的位置，最小化总连接线长。遗传算法具有良好的全局搜索能力，适合处理高维度优化问题。
粒子群优化算法（PSO）：模拟鸟群觅食行为，适用于全局布局优化。PSO算法通过调整粒子的位置和速度，找到全局最优布局。适用于连续空间的优化问题，能够有效处理电路单元的位置优化。
启发式搜索算法：如A*算法，用于布线密度优化。启发式搜索算法通过估计当前状态到目标状态的代价，找到最优路径，适用于路径规划和布线优化。
线性规划（LP）：用于解决网格密度约束问题。通过建立线性约束条件，使用线性规划方法优化电路单元的位置，确保每个网格的单元密度不超过特定阈值。

C题：老外游中国

这道题目需要建立模型解决外国游客在中国游览时的最优旅游路线规划问题，综合考虑多个城市景点的评分、交通便利性、旅游花费等因素。涉及到组合优化、路径规划和多目标优化。

题目需要处理大规模数据集（352个城市，每个城市100个景点），并结合多种因素进行优化，对数据处理和优化算法有较高的要求。

适合大部分专业的同学选择。

题目设定了多个具体问题，但在模型建立和算法选择上有较大的自由度。

需要用到的算法

数据处理与分析算法
旅行商问题（TSP）算法
多目标优化算法

题目背景与简单分析：

这道题目是比赛的热门题目，是很多同学在训练的时候经常做的题目类型了，属于数据分析类题目，同时也是团队擅长的题目。需要一定的建模能力，和其他赛事赛题类型类似，建议大家（各个专业均可）进行选择。这道题目开放度适中，难度较易，是本次比赛获奖的首选题目。推荐所有专业同学选择门槛较低且开放度也相对较高。（这道题目会制作我们的原创论文）

C题要求建立模型，为外国游客在中国的144小时内规划最佳旅游路线。该问题包含多个子问题，包括确定全国最高评分的景点、综合评价城市吸引力、规划旅游路线以及个性化定制旅游方案。题目涉及数据处理、评价指标建立、路径优化和多目标决策等多方面内容。

建模过程

数据预处理：首先处理提供的352个城市的旅游景点数据，每个城市有100个景点。清洗数据，提取有用信息（如景点评分、游玩时长、门票信息等）。根据评分选出每个城市的最佳景点，并计算全国景点评分的最高分（BS）。
城市综合评价模型：建立城市综合评价指标，考虑城市规模、环保、人文底蕴、交通便利性、气候和美食等因素。可以采用层次分析法（AHP）或德尔菲法等多准则决策方法，为每个城市分配权重并计算综合评分，选出最吸引外国游客的50个城市。
旅游路线规划：

问题3：针对外国游客从广州入境，在144小时内游玩尽可能多的城市，使用旅行商问题（TSP）模型。结合高铁交通时间和票价信息，构建路径优化模型，目标是最大化游玩城市数量和综合游玩体验。应用蚁群算法（ACO）或遗传算法（GA）优化路线，计算总花费时间、费用和游玩景点数量。
问题4：在上述模型基础上，增加费用最小化目标，重新优化路线。采用多目标优化算法（如NSGA-II）在时间和费用之间找到平衡点，提供优化方案。