概率论原理精解【9】

文章目录

  • 集类
  • 拓扑空间
  • 参考文献

集类

  • C是一个集类(以G的某些子集为元素的集合称为G的集类)
  • A i ∈ C , ∩ i = 1 n A i ∈ C , 此为有限交封闭 C 所得集类 C ∩ f A_i \in C,\cap_{i=1}^nA_i \in C,此为有限交封闭C所得集类C_{\cap f} AiC,i=1nAiC,此为有限交封闭C所得集类Cf
  • A n ∈ C , n ≥ 1 , ∩ n A n ∈ C , 此为可列交封闭 C 所得集类 C δ A_n \in C,n \ge 1,\cap_{n}A_n \in C,此为可列交封闭C所得集类C_{\delta} AnC,n1,nAnC,此为可列交封闭C所得集类Cδ
  • C Σ f 称为有限不交并封闭 C 所得集类 C_{\Sigma f}称为有限不交并封闭C所得集类 CΣf称为有限不交并封闭C所得集类
  • ∪ i = 1 n A i ∈ C , 此为有限并封闭 C 所得集类 C ∪ f \cup_{i=1}^nA_i \in C,此为有限并封闭C所得集类C_{\cup f} i=1nAiC,此为有限并封闭C所得集类Cf
  • C σ 为可列并封闭 C 所得集类 C_{\sigma}为可列并封闭C所得集类 Cσ为可列并封闭C所得集类
  • C Σ σ 为可列不交并封闭 C 所得集类 C_{\Sigma\sigma}为可列不交并封闭C所得集类 CΣσ为可列不交并封闭C所得集类
  • 1. 如果 C 对有限交封闭,称为 π 类 2. 如果 ∅ ∈ C ,且有 A , B ∈ C = > A ∩ B ∈ C , A \ B ∈ C Σ f , C 称为半环。 3. C 是半环,且 G ∈ C , C 是半代数。 4. C 对有限交和取余集运算封闭,且 G ∈ C , ∅ ∈ C , C 称为代数或域。 5. C 对可列交和取余集运算封闭,且 G ∈ C , ∅ ∈ C , C 称为 σ 代数 6. C 对单调序列极限封闭, C 称为单调类 7. C 称为 λ 类,则: ( 1 ) G ∈ C ( 2 ) A , B ∈ C , B ⊂ A = > A \ B ∈ C ( 3 ) A n ∈ C , n ≥ 1 , A n ↑ A = > A ∈ C 1.如果C对有限交封闭,称为\pi类 \\2.如果\emptyset \in C,且有A,B \in C=>A\cap B \in C,A \backslash B \in C_{\Sigma f},C称为半环。 \\3.C是半环,且G \in C,C是半代数。 \\4.C对有限交和取余集运算封闭,且G \in C,\empty \in C,C称为代数或域。 \\5.C对可列交和取余集运算封闭,且G \in C,\empty \in C,C称为\sigma代数 \\6.C对单调序列极限封闭,C称为单调类 \\7.C称为\lambda类,则: \\(1)G \in C \\(2)A,B \in C , B \subset A=>A \backslash B \in C \\(3) A_n \in C,n \ge 1,A_n \uparrow A => A \in C 1.如果C对有限交封闭,称为π2.如果C,且有A,BC=>ABC,A\BCΣfC称为半环。3.C是半环,且GC,C是半代数。4.C对有限交和取余集运算封闭,且GCCC称为代数或域。5.C对可列交和取余集运算封闭,且GCCC称为σ代数6.C对单调序列极限封闭,C称为单调类7.C称为λ类,则:(1)GC(2)A,BC,BA=>A\BC(3)AnC,n1,AnA=>AC
  • 对 G 上的任一非空集类 F , 存在包含 F 的最小 σ 代数、 λ 类和单调类, 记为 σ ( F ) 、 λ ( F ) 和 m ( F ) , m ( F ) ⊂ λ ( F ) ⊂ σ ( F ) 对G上的任一非空集类F,存在包含F的最小\sigma代数、\lambda类和单调类,\\记为\sigma(F)、\lambda(F)和m(F),m(F)\subset \lambda(F) \subset \sigma(F) G上的任一非空集类F,存在包含F的最小σ代数、λ类和单调类,记为σ(F)λ(F)m(F)m(F)λ(F)σ(F)

C 为一集类, 1. 若 C 为代数,则 m ( C ) = σ ( C ) 2. 若 C 为一 π 类,则 λ ( C ) = σ ( C ) C为一集类, \\1.若C为代数,则m(C)= \sigma (C) \\2.若C为一\pi类,则\lambda(C)= \sigma (C) C为一集类,1.C为代数,则m(C)=σ(C)2.C为一π类,则λ(C)=σ(C)

  • 设 C 和 F 为两个集类,且 C ⊂ F 1. 若 C 为代数, F 为单调类,则 σ ( C ) ⊂ F 2. 若 C 为 π 类,且 F 为 λ 类,则 σ ( C ) ⊂ F 设C和F为两个集类,且C \subset F \\1.若C为代数,F为单调类,则\sigma(C) \subset F \\2.若C为\pi类,且F为\lambda类,则\sigma(C) \subset F CF为两个集类,且CF1.C为代数,F为单调类,则σ(C)F2.Cπ类,且Fλ类,则σ(C)F

  • C 为一集类, 1. 若要 m ( C ) = σ ( C ) ,则必须且只需 A ∈ C = > A c ∈ m ( C ) , A , B ∈ C = > A ∩ B ∈ m ( C ) 2. 若要 λ ( C ) = σ ( C ) ,必须且只需 A , B ∈ C = > A ∩ B ∈ λ ( C ) C为一集类, \\1.若要m(C)= \sigma (C),则必须且只需 \\A \in C=>A^c \in m(C),A,B \in C=>A \cap B \in m(C) \\2.若要\lambda(C)=\sigma(C),必须且只需 \\A,B \in C => A \cap B \in \lambda (C) C为一集类,1.若要m(C)=σ(C),则必须且只需AC=>Acm(C)A,BC=>ABm(C)2.若要λ(C)=σ(C),必须且只需A,BC=>ABλ(C)

  • C 为一集类,若它满足下列条件之一,则有 m ( C ) = σ ( C ) 1. A , B ∈ C = > A ∩ B ∈ C , A ∈ C = > A c ∈ C δ 2. A , B ∈ C = > A ∪ B ∈ C , A ∈ C = > A c ∈ C δ C为一集类,若它满足下列条件之一,则有m(C)=\sigma(C) \\1.A,B \in C=>A \cap B \in C,A \in C=>A^c \in C_{\delta} \\2.A,B \in C=>A \cup B \in C,A \in C=>A^c \in C_{\delta} C为一集类,若它满足下列条件之一,则有m(C)=σ(C)1.A,BC=>ABCAC=>AcCδ2.A,BC=>ABC,AC=>AcCδ

拓扑空间

  • 设 X 为非空集合, β ⊂ P ( X ) 设X为非空集合,\beta \subset P(X) X为非空集合,βP(X)
    1. 若 β 是 X 上某拓扑的基,则 ( 1 ) ∪ B ∈ β B = X ( 2 ) 若 B 1 、 B 2 ∈ β 且 x ∈ B 1 ∩ B 2 ,则 ∃ B x ∈ β , s . t . x ∈ β , x ∈ B x ⊂ B 1 ∩ B 2 2. 若 β 满足 ( 1 ) 和 ( 2 ) ,则存在唯一的拓扑 τ = { G ⊂ X : ∃ β G ⊂ β , s . t . G = ∪ B ∈ β G B } 以 β 为基,并称这个拓扑是以 β 为基生成的拓扑。 1.若\beta 是X上某拓扑的基,则 \\(1)\cup_{B \in \beta}B=X \\(2)若B_1、B_2 \in \beta且x \in B_1\cap B_2,则\exists B_x \in \beta,s.t. x \in \beta,x \in B_x \subset B_1\cap B_2 \\2.若\beta满足(1)和(2),则存在唯一的拓扑 \\\tau=\{G \subset X:\exists \beta_G \subset \beta ,s.t.G=\cup_{B\in \beta_G}B\} \\以\beta为基,并称这个拓扑是以\beta为基生成的拓扑。 1.βX上某拓扑的基,则(1)BβB=X(2)B1B2βxB1B2,则Bxβ,s.t.xβxBxB1B22.β满足(1)(2),则存在唯一的拓扑τ={GX:βGβ,s.t.G=BβGB}β为基,并称这个拓扑是以β为基生成的拓扑。
  • 设 β 是拓扑空间 X 的一个基,若 β 是可数的,则称 X 具有可数基 设\beta是拓扑空间X的一个基,若\beta是可数的,则称X具有可数基 β是拓扑空间X的一个基,若β是可数的,则称X具有可数基
  • 例题

下面内容由文心一言自动生成
拓扑空间是数学中的一个重要概念,它允许我们在不考虑距离和角度的具体度量下,研究空间的几何性质和变换。在拓扑空间中,“基”通常指的是一组特定的开集,这些开集的并集能够生成整个空间上的拓扑结构。以下是一个关于拓扑空间基的例题:

题目:设 X X X是一个集合, X X X上的一组子集 B \mathcal{B} B满足以下条件:

  1. B \mathcal{B} B中的任意两个元素的交集可以表示为 B \mathcal{B} B中某些元素的并集。
  2. X X X可以表示为 B \mathcal{B} B中某些元素的并集。

证明:由 B \mathcal{B} B生成的拓扑空间 ( X , T ) (X, \mathcal{T}) (X,T)中, B \mathcal{B} B T \mathcal{T} T的一个基。

证明

  1. 定义由 B \mathcal{B} B生成的拓扑

首先,我们定义由 B \mathcal{B} B生成的拓扑 T \mathcal{T} T。设 T \mathcal{T} T是包含 B \mathcal{B} B的最小集合,且满足以下条件:

  • ∅ ∈ T \emptyset \in \mathcal{T} T(空集是任何拓扑的一部分)。
  • 如果 U 1 , U 2 , … ∈ T U_1, U_2, \ldots \in \mathcal{T} U1,U2,T,则 ⋃ i = 1 ∞ U i ∈ T \bigcup_{i=1}^\infty U_i \in \mathcal{T} i=1UiT(任意多个开集的并集是开集)。
  • 如果 U 1 , U 2 ∈ T U_1, U_2 \in \mathcal{T} U1,U2T,则 U 1 ∩ U 2 ∈ T U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T} U1U2T(有限多个开集的交集是开集)。

由于 B \mathcal{B} B满足题目中的条件,且我们要求 T \mathcal{T} T是最小的这样的集合,因此可以通过不断添加由 B \mathcal{B} B中元素通过并集和有限交集运算得到的集合来构造 T \mathcal{T} T

  1. 证明 B \mathcal{B} B T \mathcal{T} T的基

    根据拓扑空间基的定义,一个集合 B \mathcal{B} B是拓扑空间 ( X , T ) (X, \mathcal{T}) (X,T)的基,如果对于 T \mathcal{T} T中的任意元素 U U U(即任意开集),都存在 B \mathcal{B} B中的元素 B 1 , B 2 , … B_1, B_2, \ldots B1,B2,(可能有无穷多个),使得 U = ⋃ i = 1 ∞ B i U = \bigcup_{i=1}^\infty B_i U=i=1Bi

    现在,对于 T \mathcal{T} T中的任意元素 U U U,由于 U ∈ T U \in \mathcal{T} UT,且 T \mathcal{T} T是由 B \mathcal{B} B通过并集和有限交集运算得到的,因此我们可以使用归纳法(或超限归纳法,如果涉及到无穷多个集合)来证明 U U U可以由 B \mathcal{B} B中的元素通过并集得到。具体来说,如果 U U U本身就是 B \mathcal{B} B中的元素,则结论显然成立。如果 U U U不是 B \mathcal{B} B中的元素,则 U U U必然是通过并集和有限交集运算从 B \mathcal{B} B中的元素得到的。由于并集和有限交集运算可以相互转化(即,可以通过并集和补集运算来表示有限交集),我们可以最终将 U U U表示为 B \mathcal{B} B中某些元素的并集。

注意:这里的证明依赖于 B \mathcal{B} B满足题目中的条件,特别是第一个条件(任意两个元素的交集可以表示为某些元素的并集),这保证了在通过并集和有限交集运算构造 T \mathcal{T} T时,不会超出由 B \mathcal{B} B生成的集合范围。

  1. 结论

    因此,我们证明了由 B \mathcal{B} B生成的拓扑空间 ( X , T ) (X, \mathcal{T}) (X,T)中, B \mathcal{B} B T \mathcal{T} T的一个基。

注意

  • 这个例题是一个较为抽象的证明题,旨在理解拓扑空间基的概念和性质。
  • 在实际应用中,拓扑空间的基往往是具体给出的,例如实数集上的开区间集合是实数集上标准拓扑的一个基。
  • 拓扑空间的基不是唯一的,但不同的基会生成相同的拓扑结构。
  • 几个 拓扑空间基的例子

由文心一言自动生成
在这里插入图片描述

  • 成为拓扑空间基的具体条件

以下内容由文心一言自动生成
成为拓扑空间基的条件主要基于拓扑基的定义和性质。以下是成为拓扑空间基的具体条件:

1. 覆盖性

  • 条件描述:基中的元素(开集)的并集必须等于整个拓扑空间。这确保了拓扑空间中的每一个点都至少被一个基元素所覆盖。
  • 数学表达:设 B \mathcal{B} B是拓扑空间 X X X的一个子集族,如果 ⋃ B ∈ B B = X \bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X BBB=X,则满足覆盖性条件。

2. 有限交性质

  • 条件描述:对于基中任意两个元素的交集,如果这个交集非空,则必须存在基中的另一个元素,它是这两个元素交集的子集。这保证了通过基元素可以“精细地”构造出拓扑空间中的所有开集。
  • 数学表达:对于任意 B 1 , B 2 ∈ B B_1, B_2\in\mathcal{B} B1,B2B,如果 B 1 ∩ B 2 ≠ ∅ B_1\cap B_2\neq\emptyset B1B2=,则存在 B 3 ∈ B B_3\in\mathcal{B} B3B,使得 B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2 B_3\subseteq B_1\cap B_2 B3B1B2

3. 生成的拓扑

  • 条件描述(隐含):基中元素的并集可以生成拓扑空间中的所有开集。具体来说,对于拓扑空间 X X X的任意子集 U U U,如果 U U U可以表示为基中某些元素的并集,则 U U U是开集。
  • 数学表达:设 T \mathcal{T} T是由基 B \mathcal{B} B生成的拓扑,则对于任意 U ⊆ X U\subseteq X UX,如果 U = ⋃ i ∈ I B i U=\bigcup_{i\in I}B_i U=iIBi,其中 I I I是某个指标集,且对于所有 i ∈ I i\in I iI,有 B i ∈ B B_i\in\mathcal{B} BiB,则 U ∈ T U\in\mathcal{T} UT

4. 唯一性(非必须,但重要性质)

  • 条件描述:虽然不同的基可能生成相同的拓扑,但在某些情况下,我们可能希望找到一个“最小”或“最自然”的基。这通常与拓扑空间的特定性质或结构有关。
  • 注意:唯一性不是成为拓扑空间基的必要条件,但它对于理解和描述拓扑空间的结构非常重要。

总结

成为拓扑空间基的条件主要包括覆盖性和有限交性质。这两个条件确保了基元素能够“有效地”覆盖整个拓扑空间,并通过并集和有限交的方式生成出所有的开集。同时,虽然唯一性不是必要条件,但寻找最小或最自然的基对于理解和应用拓扑空间具有重要意义。

  • 更多例子及证明 在拓扑学中,拓扑空间的基(也称为拓扑基)是一个重要的概念,它用于描述拓扑空间中的开集族,这些开集族能够生成整个拓扑空间的所有开集。以下是几个具体的拓扑空间基的例子及其详细解释和证明。
  • 拓扑空间基的充要条件
    成为拓扑空间基的充要条件可以归纳如下:

以下内容由文心一言自动生成
( X , T ) (X, \mathcal{T}) (X,T)是一个拓扑空间, B ⊆ T \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T} BT T \mathcal{T} T的一个子集族。则 B \mathcal{B} B T \mathcal{T} T的一组拓扑基的充要条件是:

  1. 覆盖性

    • ⋃ B ∈ B B = X \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = X BBB=X。即,基中所有元素的并集等于整个拓扑空间。这保证了拓扑空间中的每一个点都至少被一个基元素所覆盖。
  2. 有限交性质(或称为“局部有限性”的某种形式):

    • 对于任意 x ∈ X x \in X xX和任意包含 x x x的开集 U ∈ T U \in \mathcal{T} UT,存在 B ∈ B B \in \mathcal{B} BB使得 x ∈ B ⊆ U x \in B \subseteq U xBU。这实际上是有限交性质在点集拓扑中的具体体现,它确保了通过基元素可以“精细地”构造出拓扑空间中的所有开集。更一般地,这也意味着对于任意两个基元素 B 1 , B 2 ∈ B B_1, B_2 \in \mathcal{B} B1,B2B(如果它们的交集非空),则对于交集中的任意点 x x x,都存在另一个基元素 B ∈ B B \in \mathcal{B} BB,使得 x ∈ B ⊆ B 1 ∩ B 2 x \in B \subseteq B_1 \cap B_2 xBB1B2。然而,这一表述更侧重于点的视角,而非直接描述交集的有限性。
      这个条件实际上隐含了有限交性质的一种形式,即对于任意两个基元素的交集(如果非空),在交集中的每一点附近都可以找到一个更小的基元素来“细化”这个交集。然而,这个条件更侧重于从点的视角来描述基的性质。
  3. 生成性(隐含于定义中):

    • 拓扑空间 T \mathcal{T} T中的任意开集都可以表示为基 B \mathcal{B} B中某些元素的并集。这是拓扑基定义的自然结果,也是它被称为“基”的原因。

证明思路(简要)

  • 必要性:假设 B \mathcal{B} B T \mathcal{T} T的一组拓扑基。
    • 覆盖性:由拓扑基的定义直接得出。
    • 有限交性质:对于任意 x ∈ X x \in X xX和任意开集 U ∋ x U \ni x Ux,由于 U U U是开集,且 B \mathcal{B} B是拓扑基,根据拓扑基的性质,存在 B ∈ B B \in \mathcal{B} BB使得 x ∈ B ⊆ U x \in B \subseteq U xBU
  • 充分性:假设 B \mathcal{B} B满足上述两个条件。
    • 验证生成性:对于任意开集 U ∈ T U \in \mathcal{T} UT,由于 B \mathcal{B} B满足覆盖性,对于任意 x ∈ U x \in U xU,存在 B x ∈ B B_x \in \mathcal{B} BxB使得 x ∈ B x ⊆ U x \in B_x \subseteq U xBxU。因此, U = ⋃ x ∈ U B x U = \bigcup_{x \in U} B_x U=xUBx,即 U U U可以表示为基中元素的并集。

注意事项

  • 有限交性质在这里的表述侧重于点的视角,而非直接描述交集的有限性。在更一般的上下文中,有限交性质可能涉及更复杂的交集结构。
  • 生成性是拓扑基定义的自然结果,通常不需要单独作为充要条件的一部分来验证。然而,在理解拓扑基的概念时,它是非常重要的。
  • 不同的教材或文献中,对拓扑基的定义和性质的表述可能略有不同,但核心思想是一致的。
  • 几个拓扑空间基的证明例子

拓扑空间的基是拓扑学中一个核心概念,它用于描述拓扑空间中的开集族,这些开集族满足特定条件,能够生成整个拓扑空间的所有开集。以下是几个拓扑空间的基的例子及其详细解释证明:

例子1:度量空间的球形邻域基

描述:设 ( X , ρ ) (X,\rho) (X,ρ)是度量空间,其中 ρ \rho ρ是度量函数。则所有的球形邻域 { B ( x , r ) ∣ x ∈ X , r > 0 } \{B(x,r)|x\in X, r>0\} {B(x,r)xX,r>0}(其中 B ( x , r ) B(x,r) B(x,r)表示以 x x x为中心, r r r为半径的开球)构成 X X X的一组拓扑基。

证明

  1. 条件一验证:对于任意 x ∈ X x\in X xX,存在 r > 0 r>0 r>0(例如取 r = 1 r=1 r=1),使得 x ∈ B ( x , r ) x\in B(x,r) xB(x,r),即每个点都被至少一个基元素包含。
  2. 条件二验证:对于任意两个基元素 B ( x 1 , r 1 ) B(x_1,r_1) B(x1,r1) B ( x 2 , r 2 ) B(x_2,r_2) B(x2,r2),以及任意 y ∈ B ( x 1 , r 1 ) ∩ B ( x 2 , r 2 ) y\in B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2) yB(x1,r1)B(x2,r2),存在某个 r > 0 r>0 r>0(例如取 r = min ⁡ { r 1 − d ( x 1 , y ) , r 2 − d ( x 2 , y ) } r=\min\{r_1-d(x_1,y), r_2-d(x_2,y)\} r=min{r1d(x1,y),r2d(x2,y)},其中 d ( x 1 , y ) d(x_1,y) d(x1,y) d ( x 2 , y ) d(x_2,y) d(x2,y)分别表示 x 1 x_1 x1 y y y x 2 x_2 x2 y y y的距离,注意这里需要 r 1 , r 2 r_1, r_2 r1,r2足够大使得 r r r为正数),使得 y ∈ B ( y , r ) ⊂ B ( x 1 , r 1 ) ∩ B ( x 2 , r 2 ) y\in B(y,r)\subset B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2) yB(y,r)B(x1,r1)B(x2,r2)。这是因为度量空间中的开球具有嵌套性质。

例子2:离散空间的单点集基

描述:设 X X X是任意集合,赋予离散拓扑,则所有单点集 { { x } ∣ x ∈ X } \{\{x\}|x\in X\} {{x}xX}构成 X X X的一组拓扑基。

证明

  1. 条件一验证:对于任意 x ∈ X x\in X xX,显然有 { x } ∈ { { x } ∣ x ∈ X } \{x\}\in \{\{x\}|x\in X\} {x}{{x}xX},即每个点都被一个单点集包含。
  2. 条件二验证:对于任意两个单点集 { x 1 } \{x_1\} {x1} { x 2 } \{x_2\} {x2},如果它们有交集(即 x 1 = x 2 x_1=x_2 x1=x2),则它们的交集就是 { x 1 } \{x_1\} {x1}(或 { x 2 } \{x_2\} {x2}),此时可以取 { x 1 } \{x_1\} {x1}(或 { x 2 } \{x_2\} {x2})作为满足条件的基元素。如果它们没有交集,则不需要考虑,因为条件二只要求对于有交集的基元素成立。

例子3:实数集的下限拓扑基

描述:设 R \mathbb{R} R是实数集,令 B = { [ a , b ) ∣ a , b ∈ R , a < b } \mathcal{B}=\{[a,b)|a,b\in\mathbb{R},a<b\} B={[a,b)a,bR,a<b},则 B \mathcal{B} B R \mathbb{R} R的一组拓扑基,它定义的拓扑称为下限拓扑。

证明

  1. 条件一验证:对于任意 x ∈ R x\in\mathbb{R} xR,可以取 [ x − 1 , x ) ∈ B [x-1,x)\in\mathcal{B} [x1,x)B,使得 x ∈ [ x − 1 , x ) x\in[x-1,x) x[x1,x)
  2. 条件二验证:对于任意两个基元素 [ a 1 , b 1 ) [a_1,b_1) [a1,b1) [ a 2 , b 2 ) [a_2,b_2) [a2,b2),以及任意 y ∈ [ a 1 , b 1 ) ∩ [ a 2 , b 2 ) y\in[a_1,b_1)\cap[a_2,b_2) y[a1,b1)[a2,b2),可以取 [ y , min ⁡ { b 1 , b 2 } ) ∈ B [y, \min\{b_1,b_2\})\in\mathcal{B} [y,min{b1,b2})B,使得 y ∈ [ y , min ⁡ { b 1 , b 2 } ) ⊂ [ a 1 , b 1 ) ∩ [ a 2 , b 2 ) y\in[y, \min\{b_1,b_2\})\subset[a_1,b_1)\cap[a_2,b_2) y[y,min{b1,b2})[a1,b1)[a2,b2)

总结

以上三个例子展示了不同类型的拓扑空间及其对应的基。在证明过程中,我们主要验证了基的两个基本条件:

  • 每个点都被至少一个基元素包含
  • 任意两个基元素的交集可以通过某个基元素来“细化”。
  • 这些基元素共同生成了拓扑空间中的所有开集。

参考文献

1.文心一言
2.《测度论基础与高等概率论》
3.《测度论讲义》第三版

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目录 引言 Expect脚本基础 什么是Expect 基本语法 进阶应用 错误处理 正则表达式 并发处理 使用Shell脚本管理多个Expect脚本 在Expect脚本内部模拟并发 脚本复用与模块化 总结 引言 在自动化运维和测试领域&#xff0c;Expect脚本无疑是一把强大的利器。它以其灵…

鸿蒙Image组件设置长按手势回调事件

Image组件默认是可拖拽的&#xff0c;给Image组件设置draggable为false&#xff0c;即可成功触发长按事件:

基于Hadoop的北京市二手房价数据分析与可视化

文章目录 有需要本项目的代码或文档以及全部资源&#xff0c;或者部署调试可以私信博主项目介绍总结每文 有需要本项目的代码或文档以及全部资源&#xff0c;或者部署调试可以私信博主 项目介绍 随着中国经济的快速发展和城市化进程的加速&#xff0c;房地产市场已成为国民经…

难题:反转链表

定义一个函数&#xff0c;输入一个链表的头结点&#xff0c;反转该链表并输出反转后链表的头结点。 思考题&#xff1a; 请同时实现迭代版本和递归版本。 数据范围 链表长度 [0,30]。 样例 输入:1->2->3->4->5->NULL输出:5->4->3->2->1->N…

sgetrf M N is 103040 时报错,这是个bug么 lapack and Openblas the same,修复备忘

1,现象 MN103040时&#xff0c;调用 sgetrf_ 时&#xff0c;无论是 LAPACK 还是 OpenBLAS&#xff0c;都出错&#xff1a; openblas&#xff1a; lapack&#xff1a; 2, 复现代码 出现问题的应该是由于M和N相对数字太大&#xff0c;乘积超出32bit整数的表达范围&#xff0c;…

vulnhub靶机tomato记录

https://www.vulnhub.com/entry/tomato-1,557/ 过程 用nmap对目标主机做全端口扫描&#xff0c;dirb做目录扫描&#xff0c;结果如下&#xff1a; 8888端口开放一个web服务&#xff0c;存在Basic认证&#xff0c;试了爆破无果&#xff0c;sun-answerbook是一个在线文档系统&am…

门店收银系统源码+同城即时零售多商户入驻商城源码

一、我们为什么要开发这个系统&#xff1f; 1. 商户经营现状 “腰尾部”商户&#xff0c;无小程序运营能力&#xff1b;自营私域商城流量渠道单一&#xff1b;无法和线下收银台打通&#xff0c;库存不同步&#xff0c;商品不同步&#xff0c;订单不同步&#xff1b; 2.平台服…

MongoDB学习记录

1、初识Mongo 概述&#xff1a;与关系型数据库不同&#xff0c;MongoDB 的数据以类似于 JSON 格式的二进制文档存储&#xff0c;通常称这种格式为Bson&#xff0c;Bson不仅支持JSON中已有的数据类型&#xff0c;还增加了一些额外的数据类型&#xff0c;例如日期和二进制数据&a…

python爬虫学习记录-请求模块urllib3

&#xff08;文章内容仅作学习交流使用&#xff09; urllib3是一个功能强大、条理清晰&#xff0c;用于HTTP客户端的第三方模块 urllib3-发送网络请求 使用urllib3发送网络请求时&#xff0c;需要先创建PoolManager对象&#xff0c;并使用该对象的request方法发送请求&#…

[Spring] Spring AOP

&#x1f338;个人主页:https://blog.csdn.net/2301_80050796?spm1000.2115.3001.5343 &#x1f3f5;️热门专栏: &#x1f9ca; Java基本语法(97平均质量分)https://blog.csdn.net/2301_80050796/category_12615970.html?spm1001.2014.3001.5482 &#x1f355; Collection与…

Qt实现类似淘宝商品看板的界面,带有循环翻页以及点击某页跳转的功能

效果如下&#xff1a; #ifndef ModelDashboardGroup_h__ #define ModelDashboardGroup_h__#include <QGridLayout> #include <QLabel> #include <QPushButton> #include <QWidget>#include <QLabel> #include <QWidget> #include <QMou…

扩展【从0制作自己的ros导航小车】C++_ROS_QT5联合编译,简单界面为ROS开发增添交互

从0制作自己的ros导航小车 前言一、环境搭建二、联合编译三、测试 前言 前面已经实现了导航功能&#xff0c;对于之后的一些开发&#xff0c;有交互能力是比较重要的&#xff0c;比如小车上连接一块屏幕&#xff0c;通过屏幕来选择模式&#xff0c;可视化等等。QT是不错的选择…

LVS是什么?以及LVS-NAT以及DR模式实验

目录 NAT LVS LVS集群的类型&#xff1a; LVS-NAT模式实验 环境准备&#xff1a; 实验步骤&#xff1a; LVS-DR模式实验 题目&#xff1a; 环境准备&#xff1a; 实验步骤&#xff1a; LVS-防火墙标签解决轮询调度问题 环境准备&#xff1a; 实验步骤&#xff1…