目录

一.树的结构

1.1树概念及结构

1.2 树的相关概念

1.3 树的表示 

 二. 二叉树概念及结构

2.1概念

2.2 特殊的二叉树： 

2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储结构

2.4.1. 顺序存储

​2.4.2. 链式存储

三. 堆的概念及结构

定义

性质

堆的实现

四.堆的代码实现

有关与堆的接口：Heap.h

堆的构建

堆的插入

删除堆顶

堆的销毁

五.结尾

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一.树的结构

1.1树概念及结构

• 树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

• 基本术语：
  • 节点：树的基本构成单位，每个节点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。
  • 根节点：树中唯一的没有父节点的节点。
  • 叶子节点或终端节点：度为0的节点，即没有子节点的节点。
  • 非终端节点或分支节点：度不为0的节点。
  • 树的度：树中节点的度的最大值。
  • 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。
  • 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。
  • 树的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
  • 树的高度或深度：树中节点的最大层次。

 

1.3 树的表示 

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

俗称“左孩子右兄弟”

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

 

 二. 二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

        1. 或者为空

        2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

        1. 二叉树不存在度大于2的结点

        2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树 注意：对于任意的二叉树

都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树： 

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也

就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深

度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的

结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是.  

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n1 ,则有 n0＝n1 ＋1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：

        1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

        2. 若2i+1，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

        3. 若2i+2，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子    

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

2.4.1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。

2.4.2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链

三. 堆的概念及结构

定义

堆可以被看作是一个可以被视作一棵完全二叉树的数组对象，即是一种顺序存储结构的完全二叉树。堆的物理结构本质上是顺序存储的，是线性的。

性质

1. 堆序性：堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值。根据这个性质，堆可以分为两种：
   • 最大堆（大根堆）：根结点的键值是所有堆结点键值中最大者，且每个结点的值都比其孩子的值大。
   • 最小堆（小根堆）：根结点的键值是所有堆结点键值中最小者，且每个结点的值都比其孩子的值小。
2. 完全二叉树：堆总是一棵完全二叉树。除了根结点和最后一个左子结点可以没有兄弟结点，其他结点都必须有兄弟结点。

堆的实现

堆的实现通常依赖于数组，其中父节点和子节点之间存在固定的索引关系。例如，对于数组中任意位置i上的元素，其左子节点的位置是2i+1，右子节点的位置是2i+2，父节点的位置则是(i-1)/2（向下取整）。

堆支持多种操作，包括但不限于：

1. 插入（Push）：向堆中添加一个新元素，并保持堆的性质。这通常通过首先将新元素添加到数组的末尾，然后通过一系列的向上调整（上浮）操作来完成。

2. 删除堆顶（Pop）：移除堆顶元素（即根节点），并通过一系列的向下调整（下沉）操作来保持堆的性质。在最小堆中，新的堆顶将是剩余元素中的最小值；在最大堆中，则是最大值。

3. 获取堆顶（Top）：返回堆顶元素的值，但不移除它。

4. 调整堆：包括向上调整和向下调整两种操作，用于在插入或删除元素后恢复堆的性质

四.堆的代码实现

        关与堆的接口：Heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>typedef int HPDataPyde;typedef struct Heap
{HPDataPyde* a;int sz;int capacity;
}HP;//堆的构建
void HPInit(HP* pc);//堆的销毁
void HPDestroy(HP* pc);//堆的插入
void HPPush(HP* pc,HPDataPyde x);//堆的删除
void HPPop(HP* pc);//获取堆顶的元素
HPDataType HPTop(Heap* php);

堆的构建

为堆开辟空间

void HPInit(HP* pc)
{assert(pc);pc->a = (HPDataPyde*)malloc(sizeof(HPDataPyde)*4);if (pc->a == NULL){perror("malloc");return;}pc->sz = 0;pc->capacity = 4;
}

堆的插入

void swap(HPDataPyde* a,HPDataPyde* b)
{HPDataPyde tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}void HPAdjustPush(HP* pc,int child)
{assert(pc);int father = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (pc->a[father] > pc->a[child]){swap(&pc->a[father], &pc->a[child]);child = father;father = (child - 1) / 2;}else{return;}}
}void HPPush(HP* pc, HPDataPyde x)
{assert(pc);if (pc->sz == pc->capacity){HPDataPyde* tmp = (HPDataPyde*)realloc(pc->a, sizeof(HPDataPyde) * pc->capacity * 2);if (tmp == NULL){perror("realloc");return;}pc->a = tmp;pc->capacity *= 2;}  pc->a[pc->sz] = x;pc->sz++;HPAdjustPush(pc, pc->sz-1);
}

删除堆顶

void HPAdjustdown(HP* pc, int father)
{assert(pc);HPDataPyde child = father * 2 + 1;while (child < pc->sz){if (child+1 < pc->sz && pc->a[child] < pc->a[child + 1]){child++;}if (pc->a[father] > pc->a[child]){swap(&pc->a[father], &pc->a[child]);father = child;child = father * 2 + 1;}else{return;}}
}void HPPop(HP* pc)
{assert(pc);swap(&pc->a[0],&pc->a[pc->sz-1]);pc->sz--;HPAdjustdown(pc, 0);
}

堆的销毁

void HPDestroy(HP* pc)
{assert(pc);free(pc->a);pc->a = NULL;pc->sz = pc->capacity = 0;
}

五.结尾

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