排序算法之桶排序

title: 桶排序
date: 2024-7-25 18:58:19 +0800
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桶排序
description: 桶排序（bucket sort）是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。
math: true

桶排序

桶排序（Bucket Sort）是一种基于分配的排序算法。它将元素分散到不同的桶中，然后对每个桶分别进行排序，最后将桶中的元素合并起来。

桶排序的原理

桶排序适用于均匀分布在一定范围内的数值。其主要思想是：

创建若干桶：将要排序的数据分到若干个桶中。
对每个桶内的数据进行排序：桶内的排序可以使用任意排序算法。
合并所有桶中的数据：将排好序的桶中的数据合并，得到最终的有序数据。

桶排序的步骤

创建桶：根据数据范围和桶的数量，创建若干个桶。
分配数据：将数据分配到对应的桶中。
桶内排序：对每个桶中的数据进行排序。
合并数据：将所有桶中的数据按顺序合并，得到排序后的结果。

图示

桶排序

示例

以下是一个桶排序的示例，假设我们有一个浮点数数组：[0.42, 0.32, 0.23, 0.52, 0.25, 0.47, 0.51]。

第一步：创建桶

假设我们创建10个桶，每个桶对应范围是[0, 0.1)，[0.1, 0.2)，[0.2, 0.3)等。

第二步：分配数据

将每个数据分配到对应的桶中：

0.42 -> 桶4
0.32 -> 桶3
0.23 -> 桶2
0.52 -> 桶5
0.25 -> 桶2
0.47 -> 桶4
0.51 -> 桶5

第三步：桶内排序

对每个桶中的数据进行排序：

桶2: [0.23, 0.25]
桶3: [0.32]
桶4: [0.42, 0.47]
桶5: [0.51, 0.52]

第四步：合并数据

将所有桶中的数据合并：[0.23, 0.25, 0.32, 0.42, 0.47, 0.51, 0.52]

复杂度分析

桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

时间复杂度为 $O (n + k)$ ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $\log\frac{n}{k})$ 时间。当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O (n)$ 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 $O (n + k)$ 时间。
自适应排序：在最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间。
空间复杂度为 $O (n + k)$ 、非原地排序：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间。
桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。

时间复杂度

最佳情况： $O (n)$ 。
最坏情况： $O(n^2)$ 。
平均情况： $O (n + k)$ 。

空间复杂度

空间复杂度： $\cdot k)$

如何实现平均分配

桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O (n)$ ，关键在于将元素均匀分配到各个桶中，因为实际数据往往不是均匀分布的。若将区间平均划分为 10 个，各个桶中的数据的数量差距会非常大。

为实现平均分配，我们可以先设定一条大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。分配完毕后，再将数据较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等。

平均分配
这种方法本质上是创建一棵递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。

如果我们提前知道数据的概率分布，则可以根据数据概率分布设置每个桶的价格分界线。值得注意的是，数据分布并不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。

概率分配

Java代码实现

/* 桶排序 */
void bucketSort(float[] nums) {// 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素int k = nums.length / 2;List<List<Float>> buckets = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < k; i++) {buckets.add(new ArrayList<>());}// 1. 将数组元素分配到各个桶中for (float num : nums) {// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]int i = (int) (num * k);// 将 num 添加进桶 ibuckets.get(i).add(num);}// 2. 对各个桶执行排序for (List<Float> bucket : buckets) {// 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法Collections.sort(bucket);}// 3. 遍历桶合并结果int i = 0;for (List<Float> bucket : buckets) {for (float num : bucket) {nums[i++] = num;}}
}