认知模型

介绍

超平面的理解：在一维空间中，如需将数据切分为两段，只需要一个点即可；在二维空间中，对于线性可分的样本点，将其切分为两类，只需一条直线即可；在三维空间中，将样本点切分开来，就需要一个平面。

距离计算

点到线的距离：

平行线间的距离：

模型思想

绘制了两条分割直线，利用这两条直线，可以方便地将样本点所属的类别判断出来。虽然从直观上来看这两条分割线都没有问题，但是哪一条直线的分类效果更佳呢(训练样本点的分类效果一致，并不代表测试样本点的分类效果也一样)?甚至于在直线和之间还存在无数多个分割直线，那么在这么多的分割线中是否存在一条最优的“超平面”呢?

假设直线Li是L1和L2以之间的某条直线(分割面)，为了能够寻找到最优的分割面山Li，需要做三件事，首先计算两个类别中的样本点到直线的Li距离；然后从两组距离中各挑选出一个最短的(如图中所示的距离d1和d2)，继续比较d1和d2，再选出最短的距离(如图中的d1)，并以该距离构造“分割带”(如图中经平移后的两条虚线)；最后利用无穷多个分割直线Li，构造无穷多个“分割带”，并从这些“分割带”中挑选出带宽最大的Li。

“分割带”代表了模型划分样本点的能力或可信度，“分割带”越宽，说明模型能够将样本点划分得越清晰，进而保证模型泛化能力越强，分类的可信度越高；反之，“分割带”越窄，说明模型的准确率越容易受到异常点的响，进而理解为模型的预测能力越弱，分类的可信度越低。

目标函数

函数与几何间隔

指的就是我们的分隔带

将图中五角星所代表的正例样本用1表示，将实心圆所代表的负例样本用-1表示；实体加粗直线表示某条分割面；两条虚线分别表示因变量y取值为+1和-1时的情况，它们与分割面平行。
不管是五角星代表的样本点，还是实心圆代表的样本点，这些点均落在两条虚线以及虚线之外，则说明这些点带入到方程w’x+b所得的绝对值一定大于等于1。
进而可以说明如果点对应的取值越小于-1，该样本为负例的可能性越高;点对应的取值越大于+1，样本为正例的可能性越高。

对于几何间隔，就是对于距离的公式是如何来的。

||w||二范式也就是平方开根，也就是距离公式。

线性可分SVM模型

目标函数

通过函数间隔、距离公式可得

拉格朗日乘子法：

我们通过拉格朗日乘子法，来简化，得到基于拉格朗日乘子法的目标函数。
由

得

紧接着我们对目标函数求解：

1. 首先求偏导，令为0
   
2. 将导函数反代之目标函数
   将上面得出的w=Σαiyixi带入
   
   最后得
   

函数代码

LinearSVC(tol=0.0001, C=1.0, multi_class=‘ovr’, fit_intercept=True, intercept_scaling=1, class_weight=None, max_iter=1000)
tol：用于指定SVM模型迭代的收敛条件，默认为0.0001
C：用于指定目标函数中松弛因子的惩罚系数值，默认为1
fit_intercept：bool类型参数，是否拟合线性“超平面”的截距项，默认为True
intercept_scaling：当参数fit_intercept为True时，该参数有效，通过给参数传递一个浮点值，就相当于在自变量X矩阵中添加一常数列，默认该参数值为1
class_weight：用于指定因变量类别的权重，如果为字典，则通过字典的形式{class_label:weight}传递每个类别的权重；如果为字符串’balanced’，则每个分类的权重与实际样本中的比例成反比，当各分类存在严重不平衡时，设置为’balanced’会比较好；如果为None，则表示每个分类的权重相等
max_iter：指定模型求解过程中的最大迭代次数，默认为1000

非线性可分SVM模型

我们在三维空间去找超平面

目标函数

对于非线性SVM模型而言，需要经过两个步骤，一个是将原始空间中的样本点映射到高维的新空间中，另一个是在新空间中寻找一个用于识别各类别样本点线性“超平面”。
假设原始空间中的样本点为x，将样本通过某种转换fai(x)映射到高维空间中，则非线性SVM模型的目标函数可以表示为：

对其求解：

其中核函数是：

线性核函数：

多项式核函数：

高斯核函数：

Sigmoid核函数：

函数代码

SVC(C=1.0, kernel=‘rbf’, degree=3, gamma=‘auto’, coef0=0.0, tol=0.001, class_weight=None, verbose=False, max_iter=-1, random_state=None)
C：用于指定目标函数中松弛因子的惩罚系数值，默认为1（惩罚系数越大，模型越精准，但是需要消耗得运算成本会加高）
kernel：用于指定SVM模型的核函数，该参数如果为’linear’，就表示线性核函数；如果为’poly’，就表示多项式核函数，核函数中的r和p值分别使用degree参数和gamma参数指定；如果为’rbf’，表示径向基核函数（也叫高斯核函数），核函数中的r参数值仍然通过gamma参数指定；如果为’sigmoid’，表示Sigmoid核函数，核函数中的r参数值需要通过gamma参数指定；如果为’precomputed’，表示计算一个核矩阵
degree：用于指定多项式核函数中的p参数值
gamma：用于指定多项式核函数或径向基核函数或Sigmoid核函数中的r参数值
coef0：用于指定多项式核函数或Sigmoid核函数中的r参数值
tol：用于指定SVM模型迭代的收敛条件，默认为0.001
class_weight：用于指定因变量类别的权重，如果为字典，则通过字典的形式{class_label:weight}传递每个类别的权重；如果为字符串’balanced’，则每个分类的权重与实际样本中的比例成反比，当各分类存在严重不平衡时，设置为’balanced’会比较好；如果为None，则表示每个分类的权重相等
max_iter：指定模型求解过程中的最大迭代次数，默认为-1，表示不限制迭代次数

示例

手写体字母识别

1. 导入功能包

# 导入第三方模块
from sklearn import svm
import pandas as pd
from sklearn import model_selection
from sklearn import metrics # 模型度量方法

2. 查看数据

# 读取外部数据
letters = pd.read_csv(r'D:\pythonProject\data\letterdata.csv')
# 数据前5行
letters.head()

3. 处理数据
   拆分数据集

# 将数据拆分为训练集和测试集
predictors = letters.columns[1:]
X_train,X_test,y_train,y_test = model_selection.train_test_split(letters[predictors], letters.letter, test_size = 0.25, random_state = 1234)

4. 模型拟合与预测
   首先来看看线性SVM，SVM有个缺点就是计算特别慢，对于大数据来说现在是不合适用此模型的。

# 选择线性可分SVM模型
linear_svc = svm.LinearSVC()
# 模型在训练数据集上的拟合
linear_svc.fit(X_train,y_train)
# 模型在测试集上的预测
pred_linear_svc = linear_svc.predict(X_test)
# 模型的预测准确率
metrics.accuracy_score(y_test, pred_linear_svc)

输出：0.4412
能看到准确率是很低的，紧接着我们用高斯SVM

# 选择非线性SVM模型
nolinear_svc = svm.SVC(kernel='rbf')
# 模型在训练数据集上的拟合
nolinear_svc.fit(X_train,y_train)
# 模型在测试集上的预测
pred_svc = nolinear_svc.predict(X_test)
# 模型的预测准确率
metrics.accuracy_score(y_test,pred_svc)

输出：0.9238
可以看到效果好了很多。

森林火灾面积预测

1. 导入功能包

# 导入第三方模块
from sklearn import svm
import pandas as pd
from sklearn import model_selection
from sklearn import metrics # 模型度量方法

2. 查看数据

# 读取外部数据
forestfires = pd.read_csv(r'D:\pythonProject\data\forestfires.csv')
# 数据前5行
forestfires.head()

3. 处理数据

# 我们认为天不是影响因素所以删除day变量
forestfires.drop('day',axis = 1, inplace = True)
# 将月份作数值化处理
forestfires.month = pd.factorize(forestfires.month)[0]
# 预览数据前5行
forestfires.head()

紧接着查看数据分布，是否有什么规律

# 导入第三方模块
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
# 绘制森林烧毁面积的直方图
sns.distplot(forestfires.area, bins = 50, kde = True, fit = norm, hist_kws = {'color':'steelblue'}, kde_kws = {'color':'red', 'label':'Kernel Density'}, fit_kws = {'color':'black','label':'Nomal', 'linestyle':'--'})
# 显示图例
plt.legend()
# 显示图形
plt.show()

发现数据是极端右偏，偏态式分布，那么我们就要对其进行一个变化，然后计算

4. 数学变换——对数变换，并作标准化处理

# 导入第三方模块
from sklearn import preprocessing
import numpy as np
from sklearn import neighbors
# 对area变量作对数变换
y = np.log1p(forestfires.area)
# 将X变量作标准化处理
predictors = forestfires.columns[:-1]
X = preprocessing.scale(forestfires[predictors])

# 将数据拆分为训练集和测试集
X_train,X_test,y_train,y_test = model_selection.train_test_split(X, y, test_size = 0.25, random_state = 1234)

5. 拟合与预测

# 构建默认参数的SVM回归模型
svr = svm.SVR()
# 模型在训练数据集上的拟合
svr.fit(X_train,y_train)
# 模型在测试上的预测
pred_svr = svr.predict(X_test)
# 计算模型的MSE
metrics.mean_squared_error(y_test,pred_svr)	

误差项得：1.9268192310372871

但这不一定是最好的，我们可以采用网格搜索法，通过自己给定的不同的参数，通过各种组合自己找到最佳的

# 使用网格搜索法，选择SVM回归中的最佳C值、epsilon值和gamma值
epsilon = np.arange(0.1,1.5,0.2)
C= np.arange(100,1000,200)  
gamma = np.arange(0.001,0.01,0.002)
parameters = {'epsilon':epsilon,'C':C,'gamma':gamma}
grid_svr = model_selection.GridSearchCV(estimator = svm.SVR(max_iter=10000),param_grid =parameters, scoring='neg_mean_squared_error',cv=5,verbose =1, n_jobs=2)
# 模型在训练数据集上的拟合
grid_svr.fit(X_train,y_train)
# 返回交叉验证后的最佳参数值
print(grid_svr.best_params_, grid_svr.best_score_)

输出：
Fitting 5 folds for each of 175 candidates, totalling 875 fits
{‘C’: 300, ‘epsilon’: 1.1000000000000003, ‘gamma’: 0.001} -1.9946668196316562
也就是拟合5重，有175种组合，总计完成875次流程计算，得到最佳组合
对比下我们改变后的预测

# 模型在测试集上的预测
pred_grid_svr = grid_svr.predict(X_test)
# 计算模型在测试集上的MSE值
metrics.mean_squared_error(y_test,pred_grid_svr)

输出：
1.745501223882639