先用导数求解

已知x+y=8

求xy(x-y)的最大值

令y=8-x

则 f(x)=x⋅(8−x)⋅(x−(8−x))=x⋅(8−x)⋅(2x−8)

导数方程为 f(x)'=-3x^2 + 24x - 32

求方程 $-3x^2+24x-32=0$ 的根。

首先，我们可以尝试对方程进行因式分解。观察方程，我们可以发现它可以写成：

$-3(x^2-8x+\frac{32}{3})=0$

但是，直接因式分解可能不太容易。因此，我们可以使用求根公式来找到方程的解。

对于一般形式的一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$，其解为：

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

将我们的方程的系数代入求根公式，我们得到：

$x=\frac{-24\pm \sqrt{24^2-4\times (-3)\times (-32)}}{2\times (-3)}$

$x=\frac{-24\pm \sqrt{576-384}}{-6}$

$x=\frac{-24\pm \sqrt{192}}{-6}$

$x=\frac{-24\pm 8\sqrt{3}}{-6}$

这给出了两个解：

$x_1=\frac{-24+8\sqrt{3}}{-6}=4-\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$x_2=\frac{-24-8\sqrt{3}}{-6}=4+\frac{4\sqrt{3}}{3}$

所以，方程 $-3x^2+24x-32=0$ 的根是 $x_1=4-\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 和 $x_2=4+\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

from scipy.optimize import minimize  # 定义原函数  
def func(x):  return x * (8 - x) * (2 * x - 8)  # 定义相反数函数  
def neg_func(x):  return -func(x)  # 求相反数函数的极小值，即原函数的极大值  
res = minimize(neg_func, x0=4)  # x0是初始猜测值  # 输出结果  
print("极大值点 x =", res.x)  
print("极大值 y =", -res.fun)  # 注意取相反数得到原函数的值