分块矩阵的转置

证明 $A = \left( \begin{matrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr}\end{matrix} \right)$ 则 $A^T = \left( \begin{matrix} A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T \end{matrix} \right)$

证明：令 $A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr}\end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{matrix} \right)$ ，有 $A^T_{n \times m}= \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{mn}\end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm}\end{matrix} \right)$ ，对它做一个分块 $A^T= \left( \begin{matrix} C_{11} & \cdots & C_{1s} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ C_{r1} & \cdots & C_{rs} \end{matrix} \right)$ 使得 $C_{ij}$ 和后面的分块矩阵中的 $B_{ij}$ 是同型矩阵，要证明 $A^T = \left( \begin{matrix} A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} B_{11} & \cdots & B_{1s} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ B_{r1} & \cdots & B_{rs} \end{matrix} \right)$ （任意的 $B_{ij}= A_{ji}^T$ ），需要证明1） $D = \left( \begin{matrix} A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T \end{matrix} \right)$ 是一个 $n \times m$ 的矩阵 2）任意的 $C_{ij} = B_{ij}$

首先证明1）我们先定义两个函数L和H，L用于获取矩阵分块包含的列数，H用于获取矩阵分块包含的行数，令H( $A_{ij}$ ) = $h_i$ 有 $h_1+h_2+ \cdots + h_s = m$ ，令L( $A_{ij}$ ) = $l_j$ 有 $l_1+l_2+\cdots+l_r=n$ ，还有 $H(B_{ij}) = H(A_{ji}^T) = L(A_{ji}) = l_i$ ， $L(B_{ij}) = L(A_{ji}^T) = H(A_{ji}) = h_j$ ，容易求出D是一个 $n \times m$ 的矩阵。