算法设计：实验一分治与递归

【实验目的】

深入理解分治法的算法思想，应用分治法解决实际的算法问题。

【实验内容与要求】

设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：

1.每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
2.每个选手一天只能赛一次；
3.循环赛一共进行n-1天。按此要求可将比赛日程表设计成有n行和n列的一个表。表中第一列是选手编号，表中第i行和第j列（j>1）处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。例如8个选手的日程表安排如右图所示。

要求：请设计算法，并采用C或C++语言编写程序实现上述功能，调试运行并对算法的时间复杂度进行分析。

【算法思想及处理过程】

分治法是一种解决问题的算法设计策略，其基本思想是将一个大问题分解成若干个规模较小且相互独立的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。其一般步骤包括：

1. 分解（Divide）：将原问题分解成若干个规模较小的子问题，子问题的规模通常是原问题规模的一部分。

2. 解决（Conquer）：递归地解决子问题。如果子问题足够小，则直接求解；否则，继续将子问题分解为更小的子问题。

3. 合并（Combine）：将子问题的解合并起来，得到原问题的解。

在该问题中，使用分治法生成比赛日程表，其算法步骤如下：

1. 分解：将所有选手分成两组，每组包含一半的选手。这样就把原问题分解成了两个规模较小的子问题，即每个分组内的选手需要生成比赛日程表。

2. 解决：递归地对每个分组的选手生成比赛日程表。如果分组内的选手数量大于 2，则继续递归；否则，直接给出两位选手的比赛日程。

3. 合并：将子问题的解合并起来，即填充下半部分的日程表。根据上半部分的日程表填充下半部分，确保每个选手都能与其他所有选手进行一次比赛。

其下图为getday函数的流程图：

对于每对选手（i，j），它们的比赛日程被设置为i与j的初始日程加上一定的偏移量。这个偏移量是选手数量的一半，为了确保了在日程表中分布均匀。对于每对选手（i，j），它们的比赛日程被设置为i与j的初始日程加上一定的偏移量。这个偏移量是选手数量的一半，即half。因此，对于日程表中的每个元素sch[i][j]，我们将其更新为sch[i][j] + half。

同时当n==2时数值也会运行数据整合这段程序，其中的herf值为1，所以设计的初始数组为[0][1],[1][0].

算法采用了递归来解决子问题，数据结构主要是二维数组来表示比赛日程表。通过递归分组和填充日程表，最终得到了完整的比赛日程表。

【程序代码】

#include <stdio.h>#define MAX_PLAYERS 128void getday(int sch[MAX_PLAYERS][MAX_PLAYERS], int n) {// 递归结束条件：只剩下2个选手时if (n == 2) {sch[0][0] = 0;sch[0][1] = 1;sch[1][0] = 1;sch[1][1] = 0;return;}// 将所有选手分为两组int half = n / 2;int group1[half];int group2[half];int index = 0;int i,j; for (i = 0; i < n; i++) {if (i < half) {group1[i] = i;} else {group2[index++] = i;}}// 递归地生成 getday(sch, half);getday(sch + half, half);for (i = 0; i < half; i++) {for (j = 0; j < half; j++) {sch[i + half][j] = sch[i][j] + half;sch[i][j + half] = sch[i][j] + half;sch[i + half][j + half] = sch[i][j];}}
}void printSch(int sch[][MAX_PLAYERS], int n) {printf("比赛日程表：\n");int i,j;for (i = 0; i < n; i++) {for (j = 0; j < n; j++) {printf("%d ", sch[i][j] + 1); }printf("\n");}
}int main() {//printf("计算机224高宇浩202202372\n");int n;int flag = 0;while( flag == 0){printf("请输入选手数量（2的幂次方）：");scanf("%d", &n);if (n <= 1 || (n & (n - 1)) != 0) {printf("选手数量必须为2的幂次方且大于1！\n");}elseflag = 1 ;}int sch[MAX_PLAYERS][MAX_PLAYERS] = {0}; getday(sch, n);printSch(sch, n);return 0;
}