很容易计算有限多个数字 $y_1,y_2,\dots ,y_n$ 的平均值：

$$y_{\text{ave}}=\frac{y_1+y_2+\cdots +y_n}{n}$$

但是，如果可以进行无限多次的温度读取，如何计算一天中的平均温度呢？图 1 显示了温度函数 $T(t)$ 的图像，其中 $t$ 以小时为单位，$T$ 以摄氏度为单位，我们猜测温度的平均值为 $T_{\text{ave}}$。

一般来说，让我们尝试计算函数 $y=f(x)$ 在区间 $a\le x\le b$ 上的平均值。我们从将区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个等分的小区间开始，每个小区间的长度为 $\Delta x=(b-a)/n$。然后我们在每个连续的小区间内选择点 $x_1^{\ast },\dots ,x_n^{\ast }$，并计算数值 $f(x_1^{\ast }),\dots ,f(x_n^{\ast })$ 的平均值：

$$\frac{f(x_1^{\ast })+\cdots +f(x_n^{\ast })}{n}$$

（例如，如果 $f$ 表示温度函数且 (n = 24)，这意味着我们每小时读取一次温度，然后取平均值。）由于 $\Delta x=(b-a)/n$，我们可以写出 $n=(b-a)/\Delta x$，于是平均值变为：

$$\begin{array}{rl}\frac{f(x_1^{\ast })+\cdots +f(x_n^{\ast })}{\frac{b-a}{\Delta x}}& =\frac{1}{b-a}[f(x_1^{\ast })+\cdots +f(x_n^{\ast })]\Delta x\\ & =\frac{1}{b-a}[f(x_1^{\ast })\Delta x+\cdots +f(x_n^{\ast })\Delta x]\\ & =\frac{1}{b-a}\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x\end{array}$$

如果我们让 $n$ 增大，那么我们将计算大量的密集分布的值的平均值。（例如，我们可以每分钟甚至每秒钟读取温度。）极限值为

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{b-a}\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

这是根据定积分的定义得到的结果。

因此，我们定义函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值为

$$f_{\text{ave}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

例1 求函数 $f(x)=1+x^2$ 在区间 $[-1,2]$ 上的平均值。

解答 取 $a=-1$ 和 $b=2$，我们有：

$$\begin{array}{rl}{f}_{\text{ave}}& =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{2-(-1)}{\int }_{-1}^2(1+x^2)dx=\frac{1}{3}{\int }_{-1}^2(1+x^2)dx\\ & =\frac{1}{3}{\left[x+\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^2=2\end{array}$$

如果 $T(t)$ 表示时刻 $t$ 的温度，我们可能会想知道是否有某个特定时间点，此时的温度等于平均温度。对于图 1 中显示的温度函数，我们看到有两个这样的时间点——一个接近中午前，另一个接近午夜之前。一般来说，是否存在某个 $c$ 点，使得函数 $f$ 的值恰好等于其平均值，即 $f(c)=f_{\text{ave}}$？以下定理表明，对于连续函数来说，这种情况确实存在。

积分形式的均值定理 如果函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么存在一个 $c\in [a,b]$，使得
$$f(c)=f_{\text{ave}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$
即：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)\cdot (b-a)$$

积分形式的均值定理是微分均值定理和微积分基本定理的一个推论。

几何上，积分均值定理的解释是，对于正函数 $f$，存在一个 $c$ 值，使得以 $[a,b]$ 为底、 $f(c)$ 为高的矩形的面积等于从 $a$ 到 $b$ 下方图形所覆盖的区域面积（如图 2所示）。

例2 由于 $f(x)=1+x^2$ 在区间 $[-1,2]$ 上是连续的，积分形式的均值定理表明，存在一个 $c\in [-1,2]$ 使得

$${\int }_{-1}^2(1+x^2)dx=f(c)[2-(-1)]$$

在这个特定的例子中，我们可以明确地找到 $c$。从例 1 中我们知道 $f_{\text{ave}}=2$，因此 $c$ 满足

$$f(c)=f_{\text{ave}}=2$$

因此：

$$1+c^2=2\text{所以}{c}^2=1$$

因此，在这种情况下，存在两个满足积分均值定理的 $c$ 值，分别是 $c=\pm 1$ 在区间 $[-1,2]$ 内。

例 1 和例 2 如图 3 所示。

例3 证明一辆汽车在时间区间 $[t_1,t_2]$ 上的平均速度与其在旅程中速度的平均值是相同的。

解答 如果 $s(t)$ 是汽车在时间 $t$ 时的位移，根据定义，汽车在该时间区间上的平均速度为：

$$\Delta s/\Delta t=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$$

另一方面，速度函数在该时间区间上的平均值为：

$$\begin{array}{rl}{v}_{\text{ave}}& =\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt=\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}{s}^{\prime }(t)dt\\ & =\frac{1}{t_2-t_1}[s(t_2)-s(t_1)]\\ & =v_{\text{ave}}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}=\text{average velocity}\end{array}$$

这证明了平均速度与其速度的平均值相同。