4. 微分

4.4 复合函数求导法则及其应用

【例4.4.3】$y=e^{\sqrt{1+\cos x}}$，求$y^{\prime }$
【解】$y^{\prime }=e^{\sqrt{1+\cos x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+\cos x}}\cdot (-\sin x)=-\frac{\sin x}{2\sqrt{1+\cos x}}{e}^{\sqrt{1+\cos x}}$

4.4.2 幂指函数求导法则

$y=f(x)=u(x{)}^{v(x)}$
两边取对数得$\ln y=\ln f(x)=v(x)\ln u(x)$
等式两边同时对$x$求导得$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\frac{1}{u(x{)}^{v(x)}}{y}^{\prime }=v^{\prime }(x)\ln u(x)+\frac{v(x)}{u(x)}{u}^{\prime }(x)$
$y^{\prime }(x)=u(x{)}^{v(x)}(v^{\prime }(x)\ln u(x)+\frac{v(x)u^{\prime }(x)}{u(x)})$
【例】$y=(\sin x{)}^{\cos x}$，求$y^{\prime }$
【解】$\ln y=\cos x\ln (\sin x)$
$\frac{y^{\prime }}{y}=-\sin x\ln (\sin x)+\cos x\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x$
$y^{\prime }=(\sin x{)}^{\cos x}(\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x}-\sin x\ln (\sin x))$

4.4.3 导数运算法则和微分运算法则

表要记住

4.4.4 一阶微分形式不变性

只有一阶微分有形式不变性

• $y=f(u),y^{\prime }(u)=f^{\prime }(u),dy=f^{\prime }(u)du,u$是自变量；
• $y=f(u),u=g(x),y=f(g(x)),y^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x),dy=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)dx=f^{\prime }(g(x))dg(x)=f^{\prime }(u)du,u$是中间变量；

不管$u$是自变量还是中间变量，都有一个式子成立即$dy=f^{\prime }(u)du$，这就叫做一阶微分的形式不变性。

4.4.5 隐函数得求导与求微分

隐函数的表达式：$F(x,y)=0$
【例】$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，限定$y>0$就是上半椭圆，$y<0$就是下半椭圆，求微分。
$d(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})=0$
即$\frac{1}{a^2}2xdx+\frac{1}{b^2}2ydy=0$
亦即$dy=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x}{y}dx$
所以$\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x}{y}$
【例4.4.5】$e^{xy}+x^{2}y-1=0$，求$y^{\prime }.$
【解】它的显函数写不出来，用隐函数求导法则
左右两边对$x$求导
$\frac{d}{dx}(e^{xy}+x^{2}y-1)=0$
则$e^{xy}(y+x{y}^{\prime })+2xy+x^2{y}^{\prime }=0$
$y^{\prime }(x)=-\frac{2xy+y{e}^{xy}}{x{e}^{xy}+x^2}=-\frac{\left({\mathrm{e}}^{xy}+2x\right)y}{\left({\mathrm{e}}^{xy}+x\right)x}$


【例4.4.6】$\sin y^2=\cos \sqrt{x}$，求$y^{\prime }$
【解】等式两边同时求微分得
$2y\cos y^{2}dy=-\sin \sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
由一阶微分的形式不变性
$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=-\frac{\sin \sqrt{x}}{4y(\cos y^2)\sqrt{x}}$


【例4.4.7】$e^{x+y}-xy-e=0$几何上表示平面上一条曲线，$(0,1)$在曲线上，求过$(0,1)$的切线方程。
【解】等式两边求导得$e^{x+y}(1+y^{\prime })-y-x{y}^{\prime }=0$
即$y^{\prime }(x)=\frac{y-e^{x+y}}{e^{x+y}-x}$
将$(0,1)$代入$y^{\prime }(x)$，则$y^{\prime }(0)=\frac{1-e^1}{e^1-0}=\frac{1-e}{e}$
则切线方程为$y-1=\frac{1-e}{e}x$

4.4.6 归纳

（1）$y=\frac{1}{g(x)},y^{\prime }=-\frac{g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$，也可以看成$y=\frac{1}{u},u=g(x),y^{\prime }=-\frac{1}{u^2}{g}^{\prime }(x)=-\frac{g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$
（2）$y=f(x),x=f^{-1}(y),f^{-1}(f(x))=x$
等式$f^{-1}(f(x))=x$两边对$x$求导得$1=(f^{-1}(y){)}^{\prime }{f}^{\prime }(x)$，所以$f^{-1}(y){)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

4.4.7 函数的参数表示（参数方程）求导

$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}\alpha ⩽t⩽\beta$且$\phi ,\psi$都可导，$\phi$严格单调且${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$
由反函数的可导定理，$t={\phi }^{-1}(x),y=\psi ({\phi }^{-1}(x))$
$\frac{dy}{dx}={\psi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))({\phi }^{-1}(x){)}^{\prime }=\frac{{\psi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))}{{\phi }^{\prime }(t)}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$
实际上也可以从微分公式（一阶微分形式的不变性）出发推出来
$\{\begin{array}{l}dx={\phi }^{\prime }(t)dt,\\ dy={\psi }^{\prime }(t)dt,\end{array}$，即$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$
【例】【旋轮线（摆线）】$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t,\\ y=1-\cos t,\end{array}0⩽t⩽\pi$，求$\frac{dy}{dx}$
【解】$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$