在许多自然现象中，数量的增长或衰减与其大小成正比。例如，如果 $y=f(t)$ 表示在时间 $t$ 时某种动物或细菌种群的个体数量，那么似乎可以合理地假设增长速率 $f’(t)$ 与种群 $f(t)$ 成正比，即 $f’(t)=kf(t)$，其中 $k$ 是某个常数。实际上，在理想条件下（无限的环境、充分的营养、免疫疾病），该方程 $f’(t)=kf(t)$ 相当准确地预测了实际发生的情况。另一个例子出现在核物理学中，放射性物质的质量以与其质量成正比的速率衰减。在化学中，一阶单分子反应的反应速率与物质的浓度成正比。在金融领域，一个储蓄账户的价值随着连续复利利息的增长而以与其价值成正比的速率增长。

一般而言，如果 $y(t)$ 是某个数量在时间 $t$ 的值，并且该数量相对于时间 $t$ 的变化率与其当前大小 $y(t)$ 成正比，则可以表示为：

$$\frac{dy}{dx}=ky\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $k$ 是常数。方程 1 有时被称为自然增长定律（如果 $k>0$）或自然衰减定律（如果 $k<0$）。它被称为微分方程，因为它涉及未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{dy}{dt}$。

解此方程并不难。该方程要求我们找到一个其导数是其自身常数倍的函数。任何形如 $y(t)=C{e}^{kt}$ 的指数函数都满足该方程，其中 $C$ 是常数。

因此，满足 $y(0)=C{e}^{k\cdot 0}=C$，故 $C$ 是函数的初始值。

定理 2 该微分方程 $\frac{dy}{dt}=ky$ 的唯一解是指数函数：
$$y(t)=y(0)e^{kt}$$

人口增长

比例常数 $k$ 的意义是什么？在人口增长的背景下，假设 $P(t)$ 是时间 $t$ 时的人口规模，我们可以写为：

$$\frac{dP}{dt}=kP\text{or}\frac{1}{P}\frac{dP}{dt}=k\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中：

$$\frac{1}{P}\frac{dP}{dt}$$

是增长率除以人口规模；它被称为相对增长率。

根据等式 (3)，我们可以说“相对增长率是常数”，而不是说“增长率与人口规模成正比”。由此可得出结论，具有常数相对增长率的人口必须指数增长。注意，相对增长率 $k$ 作为指数函数 $C{e}^{kt}$ 中的时间系数出现。例如：

$$\frac{dP}{dt}=0.02P$$

如果 $t$ 以年为单位，则相对增长率 $k=0.02$，人口以每年 2% 的速率增长。如果时间 $t=0$ 时的人口为 $P_0$，则人口的表达式为：

$$P(t)=P_0{e}^{0.02t}$$

例1 利用以下事实：世界人口在 1950 年为 25.6 亿，在 1960 年为 30.4 亿，建立 20 世纪下半叶世界人口的模型。（假设增长率与人口规模成正比。）相对增长率是多少？使用该模型估计 1993 年的世界人口，并预测 2020 年的人口。

解 我们以年为单位测量时间 $t$，设 $t=0$ 对应 1950 年。我们以百万人为单位衡量人口 $P(t)$。那么 $P(0)=2560$ 且 $P(10)=3040$。由于我们假设 $\frac{dP}{dt}=kP$，根据定理 2，得到：

$$\begin{array}{rl}P(t)& =P(0)e^{kt}=2560e^{kt}\\ P(10)& =2560e^{10k}=3040\\ k& =\frac{1}{10}\ln \frac{3040}{2560}\approx 0.017185\end{array}$$

相对增长率大约为每年 1.7%，模型为：

$$P(t)=2560e^{0.017185t}$$

我们估计 1993 年的世界人口为：

$$P(43)=2560e^{0.017185(43)}\approx 5360\text{million}$$

模型预测 2020 年的人口为：

$$P(70)=2560e^{0.017185(70)}\approx 8524\text{million}$$

放射性衰变

放射性物质通过自发发射辐射而衰变。如果 $m(t)$ 是在时间 $t$ 后剩余的初始质量 $m_0$，那么相对衰变率为：

$$-\frac{1}{m}\frac{dm}{dt}$$

实验表明这是常数。（由于 $\frac{dm}{dt}$ 是负数，因此相对衰变率是正数。）因此可以得出：

$$\frac{dm}{dt}=km$$

其中 $k$ 是负常数。换句话说，放射性物质以与剩余质量成正比的速率衰变。这意味着我们可以使用公式 (2) 来证明质量指数衰减：

$$m(t)=m_0{e}^{kt}$$

物理学家使用半衰期来表达衰变速率，即某一物质衰减到一半所需的时间。

例2 镭-226 的半衰期是 1590 年。
(a) 一个镭-226 样品的质量为 100 mg，找出该样品在 $t$ 年后剩余质量的公式。
(b) 精确到毫克，求 1000 年后剩余的质量。
(c) 剩余质量何时减少到 30 mg？

解
(a) 设 $m(t)$ 为镭-226 剩余的质量（单位：毫克），那么在 $t$ 年后有：

$$\frac{dm}{dt}=km\text{and}m(0)=100$$

根据公式 (2)，得到：

$$m(t)=m(0)e^{kt}=100e^{kt}$$

为了确定 $k$ 的值，利用 $m(1590)=\frac{1}{2}(100)$，因此：

$$100e^{1590k}=50\text{so }{e}^{1590k}=\frac{1}{2}$$

$$1590k=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$$

$$k=\frac{-\ln 2}{1590}$$

因此：

$$m(t)=100e^{-(\ln 2)t/1590}$$

我们可以利用 $\ln 2=2$ 来将 $m(t)$ 表达为另一种形式：

$$m(t)=100\times 2^{-t/1590}$$

(b) 1000 年后的质量为：

$$m(1000)=100e^{-(\ln 2)(1000)/1590}\approx 65\text{mg}$$

(c) 我们要求 $t$，使得 $m(t)=30$，即：

$$100e^{-(\ln 2)t/1590}=30\text{或}{e}^{-(\ln 2)t/1590}=0.3$$

通过取两边的自然对数解 $t$：

$$\frac{-\ln 2}{1590}t=\ln 0.3$$

因此：

$$t=\frac{-1590\ln 0.3}{\ln 2}\approx 2762\text{years}$$

为了验证我们的结果，使用图表工具绘制 $m(t)$ 的图形并画出 $m=30$ 的水平线。这两条曲线在 $t\approx 2800$ 时相交，与©部分的答案一致。

牛顿冷却定律

牛顿冷却定律指出，物体的冷却速率与物体和其周围环境之间的温差成正比，前提是这个温差不太大。（该定律同样适用于加热。）如果我们设 $T(t)$ 为物体在时间 $t$ 时的温度，$T_s$ 为环境的温度，那么我们可以将牛顿冷却定律表述为以下微分方程：

$$\frac{dT}{dt}=k(T-T_s)$$

其中 $k$ 是常数。这个方程与方程 (1) 不完全相同，因此我们作变量替换 $y(t)=T(t)-T_s$。因为 $T_s$ 是常数，所以我们有 $y’(t)=T’(t)$，因此方程变为：

$$\frac{dy}{dt}=ky$$

然后我们可以使用公式 (2) 来找到 $y$ 的表达式，从而找到 $T$。

Here is the translation of the content in markdown format:

例3 一瓶室温 72°F 的汽水被放置在温度为 44°F 的冰箱中。半小时后，汽水的温度已经降到 61°F。
(a) 再过半小时后，汽水的温度是多少？
(b) 汽水冷却到 50°F 需要多长时间？

解
(a) 设 $T(t)$ 为 $t$ 分钟后汽水的温度。环境温度为 $T_s=44^{\circ }\text{F}$，因此根据牛顿冷却定律：

$$\frac{dT}{dt}=k(T-44)$$

如果我们令 $y=T-44$，那么 $y(0)=T(0)-44=72-44=28$，因此 $y$ 满足：

$$\frac{dy}{dt}=kyy(0)=28$$

根据公式 (2)，我们有：

$$y(t)=y(0)e^{kt}=28e^{kt}$$

已知 $T(30)=61$，因此 $y(30)=61-44=17$，得到：

$$28e^{30k}=17\text{即}{e}^{30k}=\frac{17}{28}$$

通过取对数，我们得到：

$$k=\frac{\ln \left(\frac{17}{28}\right)}{30}\approx -0.01663$$

因此：

$$y(t)=28e^{-0.01663t}$$

$$T(t)=44+28e^{-0.01663t}$$

$$T(60)=44+28e^{-0.01663(60)}\approx 54.3$$

因此，再过半小时汽水冷却到约 54°F。

(b) 当 $T(t)=50$ 时：

$$44+28e^{-0.01663t}=50$$

$$e^{-0.01663t}=\frac{6}{28}$$

$$t=\frac{\ln \left(\frac{6}{28}\right)}{-0.01663}\approx 92.6$$

汽水冷却到 50°F 需要大约 1 小时 33 分钟。

连续复利

例4 如果以 6% 的年利率投资 $1000$，并按年复利，则一年后这笔投资价值 $1000(1.06)=1060$，两年后它的价值为 $[1000(1.06)]1.06=1123.60$，而 $t$ 年后它的价值为 $1000(1.06{)}^t$。一般情况下，如果本金 $A_0$ 以利率 $r$（在此示例中 $r=0.06$）投资，则 $t$ 年后其价值为 $A_0(1+r{)}^t$。然而，通常情况下，利息更频繁地复利，比如每年复利 $n$ 次。在每个复利期内，利率为 $r/n$，并且在 $t$ 年内共有 $nt$ 个复利期，因此投资的价值为：

$$A_0{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}$$

例如，三年后，以 6% 的利率投资 $1000$ 将有以下结果：

$$1000(1.06{)}^3=1191.02\text{年复利}$$

$$1000(1.03{)}^6=1194.05\text{半年复利}$$

$$1000(1.015{)}^{12}=1195.62\text{季度复利}$$

$$1000(1.005{)}^{36}=1196.68\text{月复利}$$

$$1000{\left(1+\frac{0.06}{365}\right)}^{365\cdot 3}=1197.20\text{日复利}$$

当复利期数 $n$ 增加时，支付的利息也增加。如果我们让 $n\to \infty$，那么利息将连续复利，投资的价值将为：

$$\begin{array}{rl}A(t)& =\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_0{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_0{\left[{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{n/r}\right]}^{rt}\\ & =A_0{\left[\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{n/r}\right]}^{rt}\\ & =A_0{\left[\underset{m\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m\right]}^{rt}(\text{where }m=\frac{n}{r})\end{array}$$

经过简化，结果为：

$$A(t)=A_0{e}^{rt}$$

如果我们对该方程求导，我们得到：

$$\frac{dA}{dt}=r{A}_0{e}^{rt}=rA(t)$$

这表示在连续复利的情况下，投资增长率与其规模成正比。

例如，$1000$ 投资三年，利率为 6% 时，使用连续复利计算的投资价值为：

$$A(3)=1000e^{0.06\cdot 3}=1197.22$$