10.12Python数学基础-矩阵（下）

9.矩阵的转置

矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个

m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。

例子

假设有一个矩阵 A：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$
这个矩阵是一个 2×3 的矩阵。它的转置矩阵 A^T 是一个 3×2 的矩阵，计算如下：
$A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5\\3 & 6 \end{pmatrix}$
性质

矩阵转置具有以下性质：

(A^T)T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
(A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
(kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
(AB)^T = B^T A^T：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。

特殊矩阵

对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=A，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。

如：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 1\end{pmatrix}$
反对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。

如：
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ -3 & -4 & 0\end{pmatrix}$

$A^{T}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 4 & 0\end{pmatrix}=-A$

反对称矩阵：
$a_{ij}=-a_{ji}$
所以：
$a_{ii}=-a_{ii}=>2a_{ii}=0=>a_{ii}=0$
得出主对角线元素必须为零。

对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。

矩阵A和B为同阶对称矩阵，AB对称的充要条件为AB=BA

证明：

AB对称则
$AB)^{T}=AB$
同时
$AB)^{T}=B^{T}A^{T}$
由于A和B是对称矩阵，则
$AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA$
所以
$A B = B A$
思考：

A为反对称矩阵，则A^k为？

证明：
$(A^{k})^{T}=(A\times A ...\times A)^{T}=A^{T}\times A^{T}...\times A^{T}=(-A)\times (-A)...\times (-A)=(-1)^{k}A^{k}$
如果k为偶数，则
$A^{k})^{T}=A^{k}$
此时A^k为对称矩阵

如果k为奇数，则
$A^{k})^{T}=-A^{k}$
此时A^k为反对称矩阵

10.方阵的行列式

要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。

性质：A为n阶的方阵
$A^{T}|=|A|$

$kA|=k^{n}|A|$

$A|=(-1)^{n}|A|$

$∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$

$A^{m}|=|A|^{m}$

$∣ E ∣ = 1$

例子

1.有矩阵A
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{pmatrix}$
求|2A|和|A|A

解：
$det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{vmatrix}=3\times (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 0\\-1 & 5 \end{vmatrix}=15$
则
$det(2A)=2^{3}det(A)=120$

$det(A)A=15A=15\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 & 30 & 0 \\ 0 & 45 & 0 \\ -15 & 60 & 75\end{pmatrix}$

2.A为n阶方阵，|A|=3，求
$A|A^{T}|=?$
解：
$A|A^{T}|=|A|^{n}|A^{T}|=|A|^{n+1}=3^{n+1}$

11.伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：
$A^{*})_{ij}=C^{ji}=(−1)^{i+j}M_{ji}$
其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

简单理解：

1.先按行求出每个元素的代数余子式

2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

例如：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4\end{pmatrix}$
求A的伴随矩阵A*

解：

按行求出每个元素的代数余子式：
$C_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=1,C_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=-5,C_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\\ C_{21}=-3,C_{22}=3,C_{23}=0\\ C_{31}=2,C_{32}=-1,C_{33}=-1$
然后将每行元素的代数余子式按列组成矩阵：
$C=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}$
性质：
$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$
证明：
$\begin{pmatrix} a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+...+a_{2n}C_{2n} & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{n1}C_{n1}+a_{n2}C_{n2}+...+a_{nn}C_{nn}\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}|A| & 0 & ... & 0 \\ 0 & |A| & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & |A| \end{pmatrix}=|A|E$
性质2：
$A^{*}|=|A|^{n-1}$
证明：
$AA^{*}|=|A||A^{*}|=||A|E|=|A|^{n}|E|=|A|^{n}$
所以
$A||A^{*}|=|A|^{n}=>|A|(|A|^{n-1}-|A^{*}|)=0$
得出
$A|=0 或 |A^{*}|=|A|^{n-1}$
如果|A|=0，则A中两行元素相等或成比例，或一行元素为0，则其代数余子式必有一行元素为0，所以
$A^{*}|=0=0^{n-1}=|A|^{n-1}$
所以等式成立。

12.逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作
$A^{−1}$
逆矩阵的存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

思考：如果A可逆，则可逆矩阵是唯一的

证明：

假设可逆矩阵不是唯一的，存在两个可逆矩阵B1和B2，则由可逆矩阵定义可知：
$AB_{1}=B_{1}A=E\\ AB_{2}=B_{2}A=E$
则：
$B_{1}=B_{1}E=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=EB_{2}=B_{2}$
所以可逆矩阵唯一。

性质：

1.n阶方阵A可逆的充要条件为
$|A|\neq 0$
且当A可逆时，
$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$
证明：

充分性：

因为
$|A|\neq 0$
则
$AA^{*}=A^{*}A=|A|E=>A(\dfrac{1}{|A|}A^{*})=(\dfrac{1}{|A|}A^{*})A=E$
所以A可逆，并且
$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$
必要性：

因为A可逆，则
$A B = B A = E => ∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣ = ∣ E ∣ = 1$
所以
$|A|\neq 0$
例子：

有矩阵A：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{pmatrix}$
问矩阵A是否可逆，如果可逆，求可逆矩阵

解：
$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{vmatrix}=-5+4+3=2\neq 0$
所以A可逆
$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -5 & 2 & -1 \\ 10 & -2 & 2 \\ 7 & -2 & 1\end{pmatrix}$

2.设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵，那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为：
$ABC)^{−1}=C^{−1}B^{−1}A^{−1}$

13.初等变换

初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

初等行变换：

交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置

如：矩阵第二行和第三行交换
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k

如：第二行乘以非零整数k
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

如：矩阵第一行乘以-4加到第二行
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$

初等列变换

交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

14.矩阵的标准形

常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。

14.1 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有以下特征：

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。

例如，以下矩阵是一个行阶梯形矩阵：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7\\ 0 & 0 &0 & 9\end{pmatrix}$
简单理解为：用折线表示，竖线只过一个数，横线可过多个数

下边的矩阵不是行阶梯形矩阵

14.2 简化行阶梯形矩阵

简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式，具有以下特征：

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元为 1：每一行的第一个非零元素（主元）为 1。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
主元上方元素为零：每一行的主元上方元素都为零。

即：

1.是行阶梯形矩阵；2.非0行的首非0元是1；3.非0行的首非0元所在列的其它元素都是0

红色折线表示矩阵为行阶梯形矩阵；蓝色圆圈表示首非0元是1；黄色竖线表示首非0元所在列的其它元素都是0

例子：

有矩阵A
$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix}$
求该矩阵的行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵

解：

1.第1行和第2行交换，得到
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix}$
2.第1行乘以-2加到第2行，第1行乘以-4加到第3行，第1行乘以-3加到第4行，得到
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & -10 & 10 & -6 & -12\\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\end{pmatrix}$
3.第2行乘以-10/3加到第3行，第2行加到第4行，得到
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -\dfrac{8}{3} & 8\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -9\end{pmatrix}$
4.第3三行乘以3/8，得到
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -9\end{pmatrix}$
5.第3行乘以3加到第4行，得到一个阶梯形矩阵
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
6.第三行乘以-1，得到
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
7.第3行乘以-1加到第1行，第3行加到第2行
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & 7\\ 0 & -3 & 3 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
8.第2行乘以1/3加到第1行，得到
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & -3 & 3 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
9.第2行乘以-1/3，得到一个行简化阶梯形矩阵
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
思考：行阶梯形矩阵是唯一的吗？行简化阶梯形矩阵是唯一的吗？