信号与噪声分析——第一节-确定信号的分析

1.确定信号的分析

1.1确定信号的分类：

1.周期信号与非周期信号：

周期信号的定义：

性质：

2.能量信号与功率信号：

定义

区别：

3.基带信号与频带信号：

基带信号的定义：

基带信号的特征：

频带信号的定义：

频带信号的主要特征：

1.2周期信号的傅里叶级数

1.三角形式的傅里叶级数定义：

2.指数形式的傅里叶级数定义：

3.周期信号的平均功率和功率谱：

周期信号的平均功率

周期信号的功率谱

1.3 傅里叶变换

1.非周期信号的傅里叶变换：

2.单位冲激函数的傅里叶变换：

3.周期信号的傅里叶变换：

1.4能量谱密度和功率谱密度

1.能量谱密度：

2.功率谱密度：

1.5 确定信号的相关函数

1.自相关函数的定义和性质：

2.互相关函数的定义和性质：

3.周期信号的自相关函数和功率谱密度：

例题：

1.6 确定信号通过线性系统

1.线性系统的传递函数：

2.信号通过信道不失真条件：

1.7 希尔伯特变换和解析信号

1. 希尔伯特变换的定义：

2. 解析信号的定义：

3. 希尔伯特变换的性质：

1.8 频带信号和带通系统的等效基带分析

1. 频带信号与等效基带信号：

频带信号：

等效基带信号：(或称复包络)

2.带通系统与等效低通系统：

3. 频带信号通过带通系统的分析

1.确定信号的分析

1.1确定信号的分类：

1.周期信号与非周期信号：

周期信号的定义：

周期信号：一个信号如果满足条件 $f(t) = f(t + mT)$ （其中 m 为整数，T 为周期），则称为周期信号。例如，正弦波和方波都是典型的周期信号。
非周期信号：不满足上述条件的信号称为非周期信号。其特征是信号在时间上不重复，通常表现为随机或变化的形式。

$f(x)=1+\cos\left(x\right)+\cos\left(2x\right)+\cos\left(3x\right)$

性质：

1. 组合性质：

任意两个周期信号的和或差不一定是周期信号，但如果它们的周期有公倍数，则其和或差仍为周期信号，周期为这两个信号的最小公倍数。
如果两个周期信号的周期之比为有理数，则它们的和仍然是周期信号。

2. 傅里叶分析：

周期信号可以用傅里叶级数表示，频谱是离散的，即在特定频率上有谱线。

（对于周期信号，频谱是离散的，因为周期信号可以用离散的谐波（基频及其整数倍）来表示）
非周期信号则使用傅里叶变换进行分析，其频谱是连续的，反映了频率成分的分布。非周期信号的频谱通常较为复杂，因为它们包含多个频率成分。

3. 频谱特性：

周期信号的频谱具有固定的频率成分，随着周期增大，频谱中的谱线间隔变小，幅度可能减小。
非周期信号通常表现出频谱泄露现象，即在计算其频谱时，由于时间窗口的不匹配，会导致能量分布到其他频率上。

2.能量信号与功率信号：

定义

能量信号：在有限时间内，信号的总能量有限，功率为零。

对于连续信号 $f(t)$ ，其能量 $E$ 定义为：
$E = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt$

对于离散时间信号 $x[n]$ ，其能量 $E$ 为：

$E=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }\left | x[n] \right |^{2}$

功率为零的：能量信号在有限时间段内能量有限，因此在无限时间范围内，其平均功率必然为0

常见的能量信号：如矩形脉冲、短暂的脉冲信号

功率信号：在无限时间内，信号的总能量无限，平均功率有限 ,。

对于功率信号 $f(t)$ ，其平均功率 $P$ 定义为：
$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |f(t)|^2 dt$

对于离散时间信号 $x[n]$ ，平均功率为：

$P=\lim_{N \to\infty }\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}\left | x[n] \right |^{2}$

在无限时间范围内，信号的总能量趋于无穷大，因此在单位时间内消耗的能量是有限的

常见的功率信号：如正弦波、方波、直流信号

区别：

特性	能量信号	功率信号
能量	有限	无限
功率	为零	有限
实例	如矩形脉冲、短暂的脉冲信号	正弦波、方波、直流信号
表达式	$E = \int_{-\infty}^{\infty} \|f(t)\|^2 dt$	$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \|f(t)\|^2 dt$

3.基带信号与频带信号：

基带信号的定义：

基带信号是指频率范围较低，信号的功率或能量集中在零频率附近的未经调制的原始电信号。

基带信号的特征：

基带信号直接表达了需要传输的信息，我们通常认为基带信号是实信号
频谱范围：基带信号的频谱从零频附近开始，通常占用的频率范围较窄。

！！！问题：为何书上给的基带信号的图会有负频率呢？

答：基带信号的频谱中存在负频率，这是源于傅里叶变换的特性。

由于基带信号是实信号，实信号的傅里叶变换具有共轭对称性X(−f)=X∗(f)，也就是说频谱在正频率和负频率两侧具有相同的幅度，但是相位相反.

（经过讨论分析得出：负频率的存在并不是表示实际的物理现象，而是一种数学计算上的必要性，以确保实信号的完整性）

共轭对称性意味着频谱的负频率部分是正频率部分的镜像

对于一个实值信号，在时域上它是没有虚部的，这就导致了频域中的共轭对称性。

这种对称性保证了在频域中的正负频率共同作用，使得傅里叶逆变换回到时域时能得到实值信号

以下是傅里叶变换具有共轭对称性的推导：

频带信号的定义：

频带信号是经过调制的信号，其频率范围被搬移到更高的频段（又称做），以便于在通信系统中有效传输。（频带信号通常是由基带信号经过调制产生的）

以下是部分典型信号的傅里叶变换：

频带信号的主要特征：

频谱集中在非零频段：
频带信号的频谱通常是分布在一个不包含零频率的区间内，频率成分从 $f1-f2$ 的某个范围。

调制产生：
频带信号常通过调制基带信号生成。调制是将基带信号的频谱移动到较高的频率范围，通常通过将基带信号与一个载波信号相乘完成。调制后的频带信号能够利用高频信道传输。

带宽：
频带信号的带宽指的是频谱中频率成分的跨度，定义为： $B=f2-f1$ 带宽反映了信号可以携带的有效信息量。带宽越大，信号可以承载的速度越快。

1.2周期信号的傅里叶级数

傅里叶级数 是将一个周期信号分解为一系列正弦波和余弦波的叠加。它表明任何周期信号都可以用一组不同频率的正弦波或余弦波来表示。

1.三角形式的傅里叶级数定义：

对于一个周期为 $T$ 的周期信号 $f(t)$ ,其傅里叶级数可以表示为：
$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(2\pi nf_0 t) + b_n \sin(2\pi nf_0 t)]$

其中：
$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 是基频。

$f_0 = \frac{1}{T}$ 是信号的基本频率，即信号每秒钟重复的次数。
$a_0$ 是直流分量，即信号的平均值（对应于零频率的成分）。
$a_n$ 和 $b_n$ 是傅里叶系数，表示信号在频率 $nf_0$ 处的余弦和正弦成分的幅度

$a_n$ 和 $b_n$ 分别是傅里叶系数，定义为：

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(2\pi nf_0 t) dt$
$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(2\pi nf_0 t) dt$

（其中 $a_n$ 是n的偶函数， $b_n$ 是n的奇函数）

2.指数形式的傅里叶级数定义：
$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_n e^{j2\pi nf_0 t}$

其中：
$F_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-j2\pi nf_0 t} dt$

( $e^{j 2 \pi n f_0 t}$ 是复指数形式，表示频率为 $nf_0$ 的复数正弦波成分)

傅里叶级数的应用

信号分析：通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分，了解其频谱特性。
滤波器设计：在设计滤波器时，傅里叶级数帮助确定所需的频率响应。
系统建模：在控制系统和通信系统中，利用傅里叶级数对系统进行建模和分析。

3.周期信号的平均功率和功率谱：

周期信号的平均功率

定义：
对于一个周期为 $T$ 的周期信号 $f(t)$ ，其平均功率 $P$ 定义为在一个周期内信号功率的平均值，计算公式为：
$P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |f(t)|^2 dt$ = $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left | F_n \right | ^{2}$

特性
功率集中：周期信号的功率主要集中在基频及其整数倍的谐波上。这意味着在频域中，信号的能量分布是离散的，通常表现为一系列谱线。
与幅度相关：信号的平均功率与其幅度平方成正比。例如，对于正弦波信号，其功率可以通过幅度直接计算。

周期信号的功率谱

定义:

功率谱是描述信号在不同频率上功率分布情况的图表。

(对于周期信号，其功率谱反映了各个频率成分的能量分布)

计算方法
1. 傅里叶变换：通过傅里叶变换将时域信号转换为频域表示，从而获得频谱。
2. 功率谱密度：功率谱密度可以通过将频谱幅度平方后归一化得到。

特性
离散性：周期信号的功率谱通常是离散的，表示为一系列谐波分量，每个分量对应于基频及其整数倍。
集中性：大部分能量集中在基频及其低次谐波上，高次谐波的能量逐渐减小。

1.3 傅里叶变换

1.非周期信号的傅里叶变换：

在理解非周期信号的傅里叶变换之前，我们先的明白什么是频谱密度

频谱密度定义为：是一种描述信号在频域（频率空间）上能量或功率分布的量度，分为能量谱密度和功率谱密度两种类型。

频谱密度的适用对象：频谱密度常用于随机信号（如噪声信号）或长时间的非周期信号的分析。因为这些信号无法像确定信号那样直接用离散频率的幅值和相位表示，所以频谱密度描述它们在频域的功率或能量分布。

频谱和频谱密度的区别：

频谱用于描述确定信号的频率成分，而频谱密度则用于描述信号在频率范围内的功率或能量分布，特别是随机信号或非周期信号

非周期信号不能直接用傅里叶级数直接表示，因此需要引入频谱密度的概念。

（傅里叶级数适用于周期信号）

傅里叶级数 是将一个周期信号分解为一系列正弦波和余弦波的叠加。它表明任何周期信号都可以用一组不同频率的正弦波或余弦波来表示。傅里叶级数假设信号在某个周期 $T$ 内重复，并且信号的频率成分都是离散的，间隔为基本频率 $f_0 = \frac{1}{T}$ 的倍数，因此傅里叶级数依赖于信号的周期性。

傅里叶级数与傅里叶变换的区别

对于周期信号，傅里叶级数可以将信号表示为有限或无穷多个离散频率分量的叠加。这些频率分量与信号周期 $T$ 相关，每个频率分量的频率都是基本频率的整数倍。
非周期信号通常表示为傅里叶变换。傅里叶变换是一种将非周期信号分解为连续频率分量的方式，它不要求信号是周期性的。

即非周期信号可以看作是 $T\rightarrow \infty$ 的周期信号，当周期信号 $T\rightarrow \infty$ 时，周期信号的傅里叶级数表达式表明相邻线谱间隔 $f_0=\frac{1}{T}=\Delta f$ 将趋于无穷小，离散谱将连成一片成为连续谱，而且各频率的幅度 $\left | F_n \right |$ 也趋于无穷小。（因为： $F_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-j2\pi nf_0 t} dt$ ）

非周期信号的频谱密度函数为：

$F(f)=\lim_{\Delta f\rightarrow 0}\frac{F_n}{\Delta f}=\lim_{T\rightarrow \infty }TF_n$

2.单位冲激函数的傅里叶变换：

1. 定义：

$\delta(t) = 0$ ，当 $t \neq 0$
$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \,dt=1$

2.单位冲激函数的性质：
①如果 $x(t)$ 在 $t=t_0$ 连续，则有：
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t - t_0) \, dt = f(t_0)$

表明δ函数能够“提取”出函数在特定点的值。

②对称性：
$\delta(-t) = \delta(t)$ 即δ函数是偶函数

③卷积特性
                                                  $f(t) * \delta(t) = f(t)$

                                        $f(t) * \delta(t - t_0) = f(t - t_0)$

④微分特性

$\frac{d}{dt} u(t) = \delta(t)$ $u(t)$ 是阶跃函数

$\delta(t)$ 函数的傅里叶变换：

3.周期信号的傅里叶变换：

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_n e^{j2\pi nf_0 t}$

周期信号的傅里叶变换：

$F(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_n \delta(f - nf_0)$

1.4能量谱密度和功率谱密度

1.能量谱密度：

        能量谱密度描述的是一个有限能量的信号在频域中的能量分布情况。它告诉我们每单位频率范围内信号所包含的能量。
        对于一个有限能量的信号 $f(t)$ ，其傅里叶变换为 $F(f)$ 。能量谱密度定义为：
                                                 $E(f) = |F(f)|^2$

信号的能量谱密度表征了信号的能量在频域的分布情况，它只与信号的幅频特征有关而与信号的相频特性无关。

性质：

适用对象：能量谱密度适用于有限能量的信号，如脉冲信号或瞬态信号。这类信号的总能量是有限的。
单位：能量谱密度的单位是能量每赫兹（J/Hz）。

信号在整个频率范围内的总能量与能量谱密度之间的关系：
$E = \int_{-\infty}^{\infty} E(f) df = \int_{-\infty}^{\infty} |F(f)|^2 df$

2.功率谱密度：

功率谱密度描述的是一个功率有限但持续时间无限的信号（如随机信号）的功率随频率的分布情况。它告诉我们每单位频率带宽内的信号功率。
功率谱密度：

$P(f) =\lim_{T\rightarrow \infty } \frac{|F(f)|^2}{T}$ $(W/Hz)$

信号功率与功率谱密度之间的关系：

$P = \int_{-\infty}^{\infty} P(f) df$

性质：
适用对象：功率谱密度适用于持续时间无限但功率有限的信号，如白噪声等随机信号。此类信号的能量是无限的，但功率是有限的。
单位:功率谱密度的单位是瓦特每赫兹（W/Hz）。

1.5 确定信号的相关函数

1.自相关函数的定义和性质：

自相关函数用于描述同一信号在不同时间点的取值之间的相关程度。

其数学表达式为：

实能量信号的自相关函数：
$R(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) f(t + \tau) dt$ $-\infty <\tau<\infty$
实功率信号的自相关函数:

$R(\tau) = \lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) f(t + \tau) dt$ $-\infty <\tau<\infty$

实信号的自相关函数的性质：

①         $R(\tau)=R(-\tau)$

②         $\left | R(\tau)\right |\leqslant R(0)$

③        能量信号的能量 $E=R(0)$ ; 功率信号的平均功率 $P=R(0)$

④ 能量信号 $f(t)$ 的自相关函数和能量谱密度是一对傅里叶变换,即

   $R(\tau)\Leftarrow \Rightarrow E(f)$

⑤ 功率信号 $f(t)$ 的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换，即

                         $R(\tau)\Leftarrow \Rightarrow P(f)$

2.互相关函数的定义和性质：

互相关函数用于描述两个不同信号在不同时间点的取值之间的相关程度（衡量两个信号或序列之间相似性）

定义：

两个实能量信号 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 的互相关函数定义为：

$R_{12}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t) f_2(t+\tau) dt$ $-\infty <\tau<\infty$

两个实功率信号 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 的互相关函数定义为：

$R_{12}(\tau) =\lim_{T\rightarrow \infty } \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_1(t) f_2(t+\tau) dt$ $-\infty <\tau<\infty$

归一化互相关系数定义为：

 $r_{12}=\frac{R_{12}(\tau)}{\sqrt{R_1(0)R_2(0)}}$

互相关函数的性质

3.周期信号的自相关函数和功率谱密度：

设 $f(t)$ 是一个实周期信号，周期为T，其指数形式的傅里叶级数为：

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_n e^{j2\pi nf_0 t}$ ( $-\infty <t<\infty$ , $f_0=\frac{1}{T}$ )

则 $f(t)$ 的自相关函数为：

$R_{12}(\tau) =\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) f(t+\tau) dt= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left | F_n \right |^{2} e^{j2\pi nf_0 t}$

周期信号的平均功率为：

$R(0) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left | F_n \right |^{2}$

周期信号的功率谱密度：

例题：

1.6 确定信号通过线性系统

设一个确定信号 $x(t)$ 通过线性系统输出信号 $y(t)$ ,设线性系统的单位冲激响应为 $h(t)$ ,则输出为：

确定信号通过线性系统通常使用线性时不变系统的卷积来计算输出信号。对于一个线性时不变（LTI）的系统，系统的输出是输入信号与系统的冲激响应的卷积

线性时不变系统的基本描述

输入信号： $x(t)$ （连续信号）
系统的冲激响应： $h(t)$ ，表示当系统输入为单位冲激信号时的输出
输出信号： $y(t)$ ，表示信号通过系统后的结果

$y(t) =x(t)*h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau)$

1.线性系统的传递函数：

令 $x(t) \leftrightarrow X(f), y(t) \leftrightarrow Y(f), h(t) \leftrightarrow H(f)$
根据时域卷积定理，有
                                                         $Y(f) = X(f)H(f)$
定义系统的传递函数
                                                         $H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}$
$H(f)$ 简称为系统函数，它是 $f$ 的复函数，可以表示为
                                                   $H(f) = |H(f)| e^{j\phi(f)}$
式中， $|H(f)|$ 称为系统的幅度—频率特性， $\phi(f)$ 称为相位—频率特性。 $|H(f)|$ 反映了频率为 $f$ 的正弦信号通过线性系统后幅度和相位的变换关系。

如果输入信号 $x(t)$ 为功率信号，对应功率谱密度函数为 $P_X(f)$ ，由功率谱密度的定义，可得输出信号的功率谱密度函数为
                                                 $P_Y(f) = P_X(f) |H(f)|^2$

2.信号通过信道不失真条件：

无失真传输条件：

恒参信道可以看作是一个线性时不变系统。如果输入信号 $x(t)$ 通过信道不失真，则输出信号为：
                                                 $y(t) = kx(t - t_0)$
其中 $k, t_0$ 为常数。因此，满足信号通过信道不失真的要求条件是：
                                                 $h(t) = k \delta(t - t_0)$
对应的信道传递特性为：
                                         $H(f) = |H(f)| e^{j\phi(f)} = ke^{-j2\pi f t_0}$

可见，不失真信道的传输特性 $H(f)$ 应该具备以下两个条件：

1. 信道的幅度—频率特性 $|H(f)| = k$ ，是一个不随频率变化的常数
2. 信道的相位—频率特性 $\phi(f) = -2\pi f t_0$ ，是通过点与频率成线性关系的直线

1.7 希尔伯特变换和解析信号

1. 希尔伯特变换的定义：

希尔伯特变换是一种用于信号处理中将实信号转换为解析信号的线性算子。它主要用于分析信号的相位和包络信息，特别是在调制解调、频谱分析和通信等领域有广泛的应用。

对于一个连续时间信号 $f(t)$ ，其希尔伯特变换 $\hat{f}(t)$ 定义为：
$\hat{f}(t) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(\tau)}{t - \tau} d\tau$

希尔伯特变换的卷积形式：

$\hat{f}(t)=f(t)*\frac{1}{\pi t}$

通过傅里叶变换的角度，希尔伯特变换可以表述为：
                                         $\mathcal{F}\{\hat{f}(t)\} = -j \cdot \text{sgn}(f) \cdot \mathcal{F}\{f(t)\}$

在频域中，希尔伯特变换可以通过乘以符号函数（即单位阶跃函数的变体）来实现：

        当 $f > 0$ ，希尔伯特变换乘以 $-j$ ；
        当 $f < 0$ ，希尔伯特变换乘以 $j$ ；
        当 $f = 0$ ，保持不变。

2. 解析信号的定义：

希尔伯特变换可以用来构造解析信号。解析信号 $z(t)$ 是由原始实信号 $f(t)$ 与其希尔伯特变换 $\hat{f}(t)$ 的复合信号，它的定义为：

$z(t) = f(t) + j\hat{f}(t)$

其中：
 $f(t)$ 是实信号部分；
 $\hat{f}(t)$ 是实信号的希尔伯特变换；
$z(t)$ 是复信号，称为原始信号的解析信号——解析信号是复信号

3. 希尔伯特变换的性质：

1. 实信号的希尔伯特变换是虚信号——解析信号的虚部是实部的希尔伯特变换
如果 $f(t)$ 是实信号，那么它的希尔伯特变换 $\hat{f}(t)$ 将是虚部，即 $\hat{f}(t)$ 的傅里叶变换在负频率部分与正频率部分相位相差 180°。

2. 能量不变性
希尔伯特变换不会改变信号的能量或功率，希尔伯特变换后的信号能量与原信号能量相等。

3. 频域性质
在频域中，希尔伯特变换等价于对信号的相位进行移位：
        正频率分量移位 -90°（乘以 $-j$ ）；
        负频率分量移位 +90°（乘以 $j$ ）。

4. 奇偶性
        如果 $f(t)$ 是偶函数，则其希尔伯特变换 $\hat{f}(t)$ 是奇函数；
        如果 $f(t)$ 是奇函数，则其希尔伯特变换 $\hat{f}(t)$ 是偶函数。

5. 互反性质
希尔伯特变换的二次应用会将信号的极性反转：
                                                                 $\hat{\hat{f}}(t) = -f(t)$
即对一个信号进行两次希尔伯特变换后，会得到该信号的负值。

1.8 频带信号和带通系统的等效基带分析

1. 频带信号与等效基带信号：

频带信号：

频带信号（又称带通信号）是指其频谱集中在非零中心频率 $f_c$ 附近的信号。对于频率 $f_c$ 足够高的频带信号，其频谱主要集中在 $f_c \pm \frac{B}{2}$ 之间（其中B是信号的带宽）
$f_{\text{}}(t) = \operatorname{Re}\{f_{\text{L}}(t) e^{j2\pi f_c t}\}$

等效基带信号：(或称复包络)

$f_{\text{L}}(t)=z(t) e^{-j2\pi f_c t}$

（其中， $z(t)$ 为解析信号）

频带信号 $f(t)$ 的等效基带信号 $f_{\text{L}}(t)$ 是复基带信号， $f_{\text{L}}(t)$ 又称为 $f(t)$ 的复包络。

2.带通系统与等效低通系统：

如果滤波器的单位冲激响应 $h(t)$ 是频带信号，则此滤波器称为带通滤波器或者带通系统。类似频带信号的解析信号定义，带通系统的单位冲激响应 $h(t)$ 对应的解析表达式为：

$z_h(t) = h(t) + j\hat{h}(t)$

定义带通系统的等效低通系统的单位冲激响应为：

$h_L(t) = \frac{1}{2} z_h(t) e^{-j2\pi f_c t}$

对应地，带通系统 $h(t)$ 表示为：

$h(t) = 2 \operatorname{Re} \{ h_L(t) e^{j2\pi f_c t} \}$

3. 频带信号通过带通系统的分析

设 $x(t)$ 为频带信号，通过一个单位冲激响应为 $h(t)$ 的带通系统，我们利用频带信号的等效基带信号和带通系统的等效低通特性来求得输出信号 $y(t)$

由以下几个步骤分析得出频带信号通过带通系统的输出信号 $y(t)$ ：

1. 写出频带信号的等效基带信号 $x_L(t)$ 和带通系统的等效低通特性 $h_L(t)$ ；
2. 计算 $y_L(t)=x_L(t)*h_L(t)$
3. 由 $y(t) = \operatorname{Re} \{ y_L(t) e^{j2\pi f_c t} \}$ ，得出输出信号 $y(t)$