题目
背包问题主要有以下几种分类，对于面试来说掌握0-1背包和完全背包足够，多重背包和分组背包是竞赛级别的题目，面试就无需准备
题目：
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
例子
背包的最大容量是4
| 重量 | 价值 | |
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少？
0-1背包动规五步曲
1.确定dp数组以及下标的含义
使用二维数组，有两个变量，一个是物品，一个是背包容量
二维数组为dp[i][j]
i 、j、dp[i][j] 分别表示什么呢？
i 来表示物品、j表示背包容量。
把物品0 放入背包的情况：
背包容量为0，放不下物品0，此时背包里的价值为0。
背包容量为1，可以放下物品0，此时背包里的价值为15.
背包容量为2，依然可以放下物品0 （注意 01背包里物品只有一个），此时背包里的价值为15。
背包容量为3，依然可以放下物品0 （注意 01背包里物品只有一个），此时背包里的价值为15。
背包容量为4，依然可以放下物品0 （注意 01背包里物品只有一个），此时背包里的价值为15。
把物品1放进背包的情况：
背包容量为0，放不下物品1，此时背包里的价值为0。
背包容量为1，放不下物品1，此时背包里的价值为0。
背包容量为2，放不下物品1，此时背包里的价值为0。
背包容量为3，可以放下物品1，此时背包里的价值为20。
背包容量为4，可以放下物品1和物品0，此时背包里的价值为35。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2.确定递推公式
dp[1][4]的状态来举例：
求取 dp[1][4] 有两种情况：
- 放物品1
- 还是不放物品1
如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。
如果放物品1， 那么背包要先留出物品1的容量，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。
容量为1，只考虑放物品0 的最大价值是 dp[0][1]，所以放物品1 的情况 = dp[0][1] + 物品1 的价值
两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）
dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[0][1] + 物品1 的价值)
以上过程，抽象化如下：
-
不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
-
放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3.初始化dp数组
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
初始化后的表格为
4.确定遍历顺序
选择先遍历物品后遍历重量相对更好理解些
5.举例推导dp数组
代码
dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(n)]for j in range(weight[0], bagweight + 1):dp[0][j] = value[0]for i in range(1, n):for j in range(bagweight + 1):if j < weight[i]:dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])print(dp[n - 1][bagweight])
